Движение тела, брошенного вертикально

1.149.Тело брошено вертикально вниз с высоты h=40 м со скоростью v₀=25 м/с. Какую скорость приобретет тело к моменту падения на землю? Какую скорость приобрело бы тело, если начальная скорость была бы направлена вертикально вверх?

1.150.Мячик бросают вертикально вверх со скоростью v=19,6 м/с. Через какое время мячик окажется: а)в наивысшей точке движения; б)в точке броска?

1.151.Во сколько раз надо увеличить начальную скорость тела, чтобы, бросая его вертикально вверх, увеличить высоту его наибольшего подъема в 4 раза?

1.152.Свободно падающее тело в некоторый момент времени находилось на высоте h₁=1100 м, а спустя время t=10 с - на высоте h₂=120 м над поверхностью земли. С какой высоты падало тело?

1.153.Парашютист Евдокимов в 1934 г. пролетел при затяжном прыжке, не раскрывая парашюта, h=7680 м за время t=142 с. На сколько секунд сопротивление воздуха увеличило время падения парашютиста?

1.154.С какой начальной скоростью нужно бросить вертикально вниз тело с высоты h=19,6 м, чтобы оно упало на Δt=1 с быстрее тела, свободно падающего с той же высоты?

1.155.Тело свободно падает с высоты h=100 м. За какое время тело проходит первый и последний метр своего пути? Какой путь проходит тело за первую секунду своего движения; последнюю секунду своего движения?

1.156.С крыши дома оторвалась сосулька и за t=0,2с пролетела мимо окна, высота которого h=1,5м. С какой высоты относительно верхнего края окна она оторвалась? Размерами сосульки пренебречь.

1.157.Мячик, отскочивший от поверхности земли вертикально вверх со скоростью v=10 м/с, пролетел мимо окна, высота которого h=1,5 м, за время t=0,2 с. На какой высоте относительно поверхности земли находится подоконник?

1.158.Тело, свободно падающее с некоторой высоты, последние Δh=196 м пути прошло за время Δt=4 с. Какое время и с какой высоты падало тело? Построить графики зависимости скорости и ускорения тела от времени.

1.159.Тело падает без начальной скорости с высоты h=45 м. Найти среднюю скорость падения на второй половине пути.

1.160.Тело, свободно падающее с некоторой высоты, за время t после начала движения проходит путь в n=5 раз меньший, чем за такой же промежуток времени в конце движения. Найти высоту, с которой падало тело.

1.161.Тело, свободно падающее с некоторой высоты, первый участок пути проходит за время t, а такой же последний - за время t/2. Найти высоту, с которой падало тело.

1.162.Жонглер бросает вертикально вверх с одной высоты с одинаковой начальной скоростью v₀=4,9 м/с шарики через каждые t=0,2 с. На каком расстоянии h друг от друга будут находиться два первых шара в момент, когда он бросает четвертый шар? С какой скоростью относительно друг друга v_отн они будут двигаться? Каким количеством шаров он может жонглировать при таких условиях?

1.163.Два тела, расположенные по одной вертикали на расстоянии l=1 м друг от друга, начинают одновременно свободно падать вниз. Как будет меняться расстояние s между телами? Нарисовать график зависимости координат тел от времени. Начало координат соответствует расположению верхнего тела, ось координат направлена вертикально вниз.

1.164.Два тела, расположенные на одной высоте, начинают свободно падать с интервалом Δt=2 с. Как будет изменяться расстояние s между телами? Нарисовать график зависимости расстояния s от времени t. Начало отсчета времени t₀=0 - момент падения первого тела (g=10 м/с²).

1.165.Тело брошено со скоростью v=14,7 м/с вертикально вверх с высоты h=19,6 м над поверхностью земли. Определить среднюю скорость v_cp и среднюю путевую скорость v за время полета.

1.166.Ракета стартует и движется вертикально вверх с ускорением а=2g, Через t₀=20 с полета двигатель отключается. Через какое время с момента старта ракета упадет на землю? Нарисовать графики зависимости ускорения, скорости, координаты и пути ракеты от времени.

1.167.Аэростат начинает с земли подниматься вертикально вверх равноускоренно и за время t₁=10 с достигает высоты h=200 м. Через t₂=5 с после старта из аэростата выпадает камень без начальной скорости относительно него. Какой максимальной высоты достигнет камень? Каким будет расстояние между аэростатом и камнем в момент его падения на землю? С какой скоростью камень упадет на землю? Начертить для камня графики зависимостей v(t), у(t), s(t). Ось Y направить вертикально вверх, за начало координат принять поверхность земли, за начало отсчета времени - момент выпадения камня из аэростата.

1.168.Аэростат поднимается с постоянной скоростью v₀. На высоте h с него сбрасывается груз без начальной скорости относительно аэростата. Найти время падения груза на землю. Какова его скорость в момент соприкосновения с землей?

1.169.Парашютист спускается равномерно со скоростью u=0,5 м/с. В какой-то момент времени парашютист подбрасывает вертикально вверх небольшое тело с начальной скоростью v₀=4,5 м/с относительно себя. Какое расстояние окажется между парашютистом и телом, находящимся в высшей точке своего полета?

1.170.Парашютист, спускающийся равномерно со скоростью v=5 м/с, в момент, когда он находился на высоте Н=100 м над поверхностью земли, бросил вертикально вниз небольшое тело со скоростью v₀=10 м/с относительно себя. Какой промежуток времени разделяет моменты приземления тела и парашютиста?

1.171°.Парашютист, опускающийся равномерно со скоростью v=5 м/с, бросает вертикально вверх небольшое тело со скоростью v₀=10 м/с относительно себя. Через какое время t после броска тело и парашютист вновь окажутся на одной высоте? Чему будет равна скорость тела в этот момент? На какой высоте относительно точки броска это произойдет?

1.172.С воздушного шара, опускающегося вертикально вниз с постоянной скоростью v₁=2 м/с, бросили вертикально вверх камень со скоростью v₂=10 м/с относительно земли. Каким будет максимальное расстояние между шаром и камнем?

1.173.Мяч свободно падает с высоты h=15 м на горизонтальную поверхность. При каждом отскоке его скорость уменьшается в n=2 раза. Найти путь, пройденный мячом до полной остановки.

1.174.Человек, находящийся в лифте, который поднимается со скоростью v, с высоты Н от пола роняет мяч. Определить промежуток времени между двумя последовательными ударами мяча о пол лифта, считая их абсолютно упругими.

1.175.Камень падает в ущелье. Через t=6 с слышен звук удара камня о землю. Определить глубину ущелья h. Скорость звука v=330 м/с.

1.176°.Камень сбрасывают с высоты Н. В то же время вертикально вверх бросают с земли шарик с начальной скоростью v₀. Определить время t, через которое встретятся камень и шарик. При какой скорости v₀ возможна их встреча? В каком направлении (вверх или вниз) движется шарик в момент встречи?

Прямолинейное переменное движение

1.177*.Точка движется по прямой согласно закону х=At+Bt³, где А=6 м/с; В=-0,125 м/с³. Определить: среднюю скорость точки в интервале времени от t₁=2 с до t₂=6 с; координату точки в тот момент времени, когда скорость тела будет равна нулю.

1.178*.Точка движется вдоль оси X по закону х=2t²-4t³. Найти направление движения в моменты времени: a)t_l=0,25 с; б)t₂=0,5 с. Чему будут равны ускорения в эти моменты времени?

1.179*.Тело движется прямолинейно, причем скорость зависит от времени по закону: v=3t³-5t+2. Определить зависимость ускорения от времени a(t). Каково значение ускорения при t=5 с?

1.180°. Частица движется в положительном направлении оси X так, что ее скорость изменяется по закону v=α , где α - положительная постоянная. Имея в виду, что в момент времени t=0 она находилась в точке х=0, найти: зависимость скорости и ускорения частицы от времени; среднюю скорость частицы за время, в течение которого она пройдет l метров пути.

Движение материальной точки на плоскости

1.181.Материальная точка переместилась из точки с координатами x₁=0 м и у₁=5 м в точку с координатами х₂=-3 м, у₂=1 м. Найти перемещение Δr. Определить модуль перемещения Δr и его проекции на оси координат Δr_х и Δr_y.

1.182.Человек, двигаясь прямо на север, прошел путь s_l=10 км за время t_l=2,5 ч, затем он повернул на восток и прошел еще s₂=5 км за t₂=1 ч. После этого он пошел точно на юго-запад со скоростью v=5 км/ч и шел еще t₂=0,5 ч. Чему равна средняя путевая скорость v_s и модуль средней скорости v_cp?

1 .183.Тело совершает два последовательных, одинаковых по модулю перемещения со скоростью v_l=20 м/с под углом α=60° и со скоростью v₂=40 м/с под углом β=120° к оси X (рис. 1.25). Найти модуль средней скорости и среднюю путевую скорость.

1.184.Первую половину времени тело движется со скоростью v₁=20 м/с под углом α₁=60° к оси X, а вторую половину времени - под углом α₂=120° к оси X со скоростью v₂=40 м/с (рис. 1.25). Найти модуль средней скорости и среднюю путевую скорость.

1.185°.По прямому шоссе со скоростью v₁=16 м/с движется автобус. Человек находится на расстоянии а=60 м от шоссе и на расстоянии b=400 м от автобуса. В каком направлении должен бежать человек со скоростью v₂=4 м/с, чтобы выйти к какой-либо точке шоссе одновременно с автобусом или раньше его?

1.186.Из начала координат одновременно начинают двигаться две точки. Первая движется по оси X со скоростью v_l=4 м/с, а вторая - по оси У со скоростью v₂=7 м/с. С какой скоростью они удаляются друг от друга?

1.187.Две частицы движутся в одной плоскости со скоростями v₁=4 м/с и v₂=7 м/с, причем угол между направлениями их движений α=60°. С какой скоростью v первая частица удаляется от второй? Какой угол составляет скорость v с направлением движения второй частицы?

1 .188*. Две точки движутся по осям X и У (рис. 1.26). В момент времени t₀=0 точка 1 находилась на расстоянии l₁=10 см, а точка 2 на расстоянии l₂=5 см от начала координат. Первая точка движется со скоростью v_l=2 см/с, а вторая - со скоростью v₂=4 см/с. Встретятся ли они? Если нет, то какое наименьшее расстояние будет между точками?

1.189.Прямая, образующая угол α=30° с положительным направлением оси X, движется со скоростью v (рис. 1.27). С какой скоростью движется точка пересечения этой прямой с осью У?

1 .190°.Четыре черепахи находятся в углах квадрата со стороной а. Они начинают одновременно двигаться с одинаковой скоростью v, причем первая черепаха все время держит курс на вторую, вторая на третью, третья на четвертую, четвертая на первую. Встретятся ли черепахи? А если встретятся, то через какое время? Сколько оборотов они сделают за это время?

1.191.Ускоренно движущееся тело за Δt=5 с увеличило свою скорость в n=2 раза. Чему равен модуль среднего ускорения тела, если модуль первоначальной скорости v=10 м/с, а направление движения тела изменилось на α=60°?

1.192.Материальная точка движется равнопеременно и в момент времени t₀=0 модуль скорости v=1 м/с. К моменту времени t=1 с скорость тела увеличилась в n₁=3 раза, а к моменту времени t₁=2t скорость тела увеличилась еще в n₂=2 раза. Определить ускорение материальной точки.

1.193.Космический корабль движется в открытом космосе со скоростью v. Требуется изменить направление движения на α=90°, оставив модуль скорости неизменным. Найти минимальное время, необходимое для такого маневра, если двигатель может сообщить кораблю в любом направлении ускорение, не превышающее а.

1.194*.Закон движения материальной точки имеет вид: r=2ti+(2+3t²)j. 1) Найти: а)радиус-вектор и его модуль в моменты времени t₀=0, t_l=1 с, t₂=2 с; б)перемещение и модуль перемещения за 2 с движения (Δr), за вторую секунду движения (Δr₂); в)уравнение траектории движения у(х). 1)Нарисовать траекторию движения и показать на рисунке r₀, r₁, r₂, Δr, Δr₂. 2)Найти в момент времени t=2 с: а)скорость v и модуль скорости, б)ускорение а и модуль ускорения; в)угол α между скоростью и ускорением; г)тангенциальное ускорение а_τ; д)нормальное ускорение а_n; е)радиус кривизны траектории R. 3)На рисунке показать v, а, α, a_τ, а_п в момент времени t=2 с.

1.195*.Закон движения материальной точки имеет вид: r(t)=2ti-(t²-1)j. Найти уравнение траектории, закон изменения скорости и ускорения от времени.

1.196*.Закон движения материальной точки имеет вид: x=α₁+β₁t+γ₁t²; у=α₂+β₂t+γ₂t², где β1=β₂=1 м/с, γ_l=-1 м/с², γ₂=2 м/с². Каково ее ускорение? Определить угол между скоростью и ускорением в момент времени t=1 с.

1.197*.Точка движется в плоскости XY вдоль оси X равномерно со скоростью v_x=0,5 м/с, а вдоль оси У так, что уравнение траектории имеет вид у=0,2х²+15x³. Найти зависимость скорости движения точки вдоль оси Y от времени, полагая, что при t=0 точка находилась в начале координат.

1.198*.Воздушный шар начинает подниматься с поверхности земли. Скорость его подъема постоянна и равна v₀. Благодаря ветру шар приобретает горизонтальную компоненту скорости v_x=αy, где α - постоянная, у - высота подъема. Найти зависимость от высоты подъема у величины сноса шара х и модуля скорости v.

1.199°.Первая точка движется по траектории у=5х². Закон движения второй точки: х=2t, у=8t. Возможна ли встреча этих точек? Если да, то в какой момент времени и каковы координаты их места встречи?

1.200*.Закон движения частицы А имеет вид: r=Rsinωt*i+Rcosωt*j, где R и ω - некоторые положительные постоянные. Найти уравнение траектории частицы. Где находилась частица А в начальный момент времени (t₀=0)? В каком направлении движется частица? Чему равны скорость v и модуль скорости частицы в любой момент времени?

1.201*.Координаты частиц изменяются по закону х=Acosωt, у=Вsinωt, где А и В - постоянные. Найти векторы скорости и ускорения частицы. Определить траекторию движения частицы. Определить моменты времени τ, когда скорость частицы будет перпендикулярна ее радиус-вектору.

1.202*.Две точки движутся так, что координаты первой: x_l=2cos2πt, y₁=2sin2πt, а радиус-вектор второй точки r₂=4ti+(1-4t²)j. По каким траекториям движутся точки? Нарисовать данные траектории. Определить расстояние l между точками через t=0,5 с от начала движения. Точки начинают движение в момент t₀=0.