21. Особливості вивчення теми «Тіла обертання».

Цією темою завершується вивчення властивостей фігур у просторі. (Мета та учні повинні знати в програмі).

У підручнику Погорєлова, як і в більшості нших шкільних підручниках, йдеться про тіла обертання і відповідні їм поверхні: циліндр – поверхня циліндра, конус – поверхня конуса, куля-сфера.

При вивченні кожного з тіл обертання корисно зразу ж дати учням правила-орієнтири їх зображень. Запропонувати таке правило-орієнтир: 1) побудувати прямокутник-осьовий переріз циліндра, в якому нижню основу .зобразити штриховою лінією;

2) беручи верхню і нижню основи прямокутника за діаметри основ циліндра, намалювати рівні еліпси, при цьому в нижній основі частину еліпса, яку не видно, зобразити штриховою лінією.

Піраміда, вписана в кулю. Якщо немає спеціальних вказівок щодо розміщення основи піраміди відносно верхньої або нижньої пів-сфери, то найбільш наочне зображення комбінації дістанемо, коли основу піраміди впишемо з переріз нижньої півсфери.

Призма, вписана в півкулю. Доцільно звернути увагу на те, що в даній комбінації просторових фігур призма пряма, а верхня і нижня основи її вписані в рівні круги, що лежать в паралельних січних площинах на однаковій відстані від центра кулі.

Куля, вписана в пряму призму.

Куля, вписана в конус або правильну піраміду.

22 Особливості вивчення теми «Геометричні побудови у просторі. Зображення просторових фігур»

На рівні обов'язкових результатів навчання програма вимагає від учнів уміти зображувати на площині просторові геометричні фігури, вказані в умовах теорем і задач, виділяти відомі фігури на рисунках і моделях. Уявним побудовам у курсі стереометрії треба приділяти належну увагу.

Для формування в учнів просторових уявлень і розвитку уяви важливо починати введення понять, аксіом, теорем і багатьох задач стереометри з розгляду моделі і наочного рисунка Модель і рисунок дають змогу учням виділити ознаки просторових фігур і абстрагуватися від несуттєвих, виконати узагальнення, помітити потрібні відношення і зв'язки між елементами фігур.

Стереометричний рисунок, який є найдоступнішим і найпоширенішим засобом унаочнення, все ж дає просторові образи у спотвореному вигляді, що утруднює уяву. Завдання викладання геометрії - розвивати в учнів три якості: просторову уяву, практичне розуміння і логічне мислення.

Перша поява многогранників і тіл обертання пов'язується з їх моделями. Учням пропонується спочатку зробити розгортку І після склеювання дістати многогранник, який вивчається.

Зображення просторових фігур на площині. Види паралельної проекції

Рисунки просторових фігур - один з важливих засобів навчання, спрямований на реалізацію дидактичного принципу наочності.

Правильно і наочно виконаний рисунок просторової фігури сприяє розумовій діяльності учнів, а неправильне і не наочне зображення, навпаки, гальмує розумову діяльність і часто стає однією з причин невміння правильно розв'язати задачу. Формування в учнів умінь виконувати зображення просторових фігур на площині відбувається ефективніше, якщо поступово І систематично озброювати їх правилами-орієнтирами виконання цих зображень. Такі правила стають для учнів орієнтовною основою виконання стереометричного рисунка.

1. При виконанні стереометричного рисунка треба спиратися на властивості паралельної проекції.

2. Зображення має бути наочним, тобто давати просторове уявлення оригіналу. Тому слід рекомендувати учням зображувати призми і піраміди так, щоб було видно найбільшу кількість їх граней, щоб не збігалися зображення їх ребер. Кулю зображують так, щоб її перерізи площинами мали вигляд еліпсів, відповідно еліпсами мають зображуватися основи циліндрів і конусів.

3. Зображення має бути простим для виконання, тобто не потребувати побудов, що безпосередньо не стосуються розв'язання задачі або доведення теореми.

4. Треба орієнтувати учнів на те, що починати виконання рисунків призм і циліндрів зручніше з верхньої основи, бо в зображенні верхньої основи видно всі лінії, а проводити ребра або твірні вниз зручніше, ніж угору.

Виконуючи зображення просторових фігур на площині, використовують два види паралельної проекції: 1) косокутну - проектуючі прямі нахилені під довільним кутом до площини зображень; 2) прямокутну (ортогональну) - проектуючі промені перпендикулярні до площини зображень

На рівні обов'язкових результатів навчання програмою І підручником Погор. передбачено найпростіші випадки побудови перерізів. На гурткових або факультативних заняттях, в класах з поглибленим вивченням математики доцільно ознайомити учнів із загальними методами побудови перерізів тіл, зокрема многогранників. Мається на увазі метод внутрішнього проектування (метод відповідності) і метод слідів при паралельному і центральному проектуванні. Розв'язування задач на побудову перерізів зводиться до знаходження точок перерізу січної площини з ребрами многогранника.

Центральне проектування

І. Метод слідів

Дано:  – площина, S- центр проектування, A(А₁),В(В₁),С(С₁) - точки і їх проекції, D₁ - проекція невідомої точки D.

З найти:D.

Алгоритм розв'язання

1.х=BС  В₁С₁

2.y= AC  А₁С₁

XY- слід пл. АВС на 

3.z= D₁A₁  XY

4.D = AZ  SD₁

II. Метод відповідності

Дано: -площина,S- центр проектування, A(А₁),В(В₁),С(С₁) - точки і їх проекції, D₁ - проекція невідомої точки D.

З н а й т и : D .

Алгоритм розв'язання

1. х₁ = A₁C₁ B₁D₁

2. х= АС  X₁S

3. d= ВХ  D₁S

Паралельне проектування

І. Метод слідів

Дано:  – площина,S-цетр проектування, A(А₁),В(В₁),С(С₁) – точки і їх проекції, D1 - проекція невідомої точки D.

З н а й т и : D.

Алгоритм розв'язання

1.х=AB  A₁B₁

2.y= BC  B₁С₁

XY- слід пл. АВС на 

3.z= D₁B₁  XY

4.D = ZB  DD₁

II. Метод відповідності

Дано: -площина,S- центр проектування, A(А₁),В(В₁),С(С₁) - точки і їх проекції, D₁ - проекція невідомої точки D.

З н а й т и : D .

Алгоритм розв'язання

1. х₁ = B₁C₁ A₁D₁

2. х= BС  X₁X

3. d= AХ  DD₁

Зображення тіл обертання та їх комбінацій з многогранниками

При вивченні кожного з тіл обертання корисно зразу ж дати учням правила-орієнтири їх зображення. Виконання рисунка циліндра не викликає в учнів особливих труднощів, і все ж варто запропонувати їм таке правило-орієнтир: 1) побудувати прямокутник - осьовий перерв циліндра, в якому нижню основу зобразиш штриховою лінією; 2) беручи верхню і нижню основи прямокутника за діаметри основ циліндра, намалювати рівні еліпси, при цьому в нижній основі частину еліпса, яку не видно, її зобразити штриховою лінією.

Зображуючи конус, треба враховувати, що наочний рисунок кожна дістати тоді, коли основу конуса зображено у вигляді еліпса. Однак це означає, що в оригіналі висота конуса нахилена гід кутом до горизонтальної площини, і тому більшу частину поверхні конуса видно. Щоб показати це на рисунку, твірні, що відокремлюють ту частину поверхні конуса, яку видно, від тієї, якої не видно, треба провести відповідним чином Правило-орієнтир у цьому випадку може бути таким: 1) спочатку провести діаметр Основи конуса штриховою лінією, а потім його середини провести перпендикуляр-висоту конуса; позначити на проведеному перпендикулярні вершину конуса; 2). зобразити в основі еліпс, провівши штриховою лінією його невидиму частину, 3) провести діаметр приблизно під кутом 10⁰ до горизонтального діаметра; 4) провести дві твірні симетричні відносно висоти. Якщо треба зобразити осьовий перерв конуса, то можна на провести твірну, яку видно. Наочним в ортогональній проекції є таке зображення кулі, в якому великий круг або будь-який перерв кулі горизонтальною площиною є еліпсом. Таке зображення можна дістати, шли вертикальний діаметр кулі нахилений під певним кутом до горизонтальної площини. В цьому разі верхній кінець його зобразиться точкою, розміщеною нижче від кола, що відокремлює видиму частину поверхні кулі від невидимої, а нижній кінець - вище цього кола Очевидно, що при такому зображенні більшу частину верхньої півсфери видно, а нижньої - не видно.