1.1. Цель работы

В результате выполнения работы следует ознакомиться с методом фазовой плоскости анализа динамики САУ, научиться анализировать процедуру построения фазовых траекторий и сопоставлять их с графиками переходных процессов, исследовать особенности динамических режимов в нелинейных системах.

1.2. Теоретическая часть

1.2.1. Общие сведения о методе фазовой плоскости

В любой момент времени состояние автоматической системы n-порядка может быть охарактеризовано значениями управляемой величины и (n-1) ее производных. Это означает, что для этой системы требуется использование n-мерного пространства, содержащего n осей координат. Если для каждого момента времени по указанным осям отложить значение переменной и (n-1) ее производных, то будет получена точка, отражающая состояние системы. Указанное пространство является фазовым, а точка, соответствующая состоянию системы, – изображающей точкой (ИТ).

В течение переходного процесса переменная и ее производные в каждый момент времени будут иметь различные значения, поэтому ИТ будет из начального положения (задаваемого начальными условиями) перемещаться в фазовом пространстве, при этом каждому типу переходного процесса автоматической системы в фазовом пространстве отвечает определенная траектория движения ее ИТ. В состоянии равновесия ИТ находится в покое, все производные равны нулю – соответствующие точки фазового пространства называются особыми.

Совокупность фазовых траекторий для всех возможных начальных состояний вместе с особыми точками называется фазовым портретом системы.

Наиболее наглядно фазовые траектории могут быть представлены для систем второго порядка, т.е. для таких систем, для которых уравнение динамики записывается в виде:

, (1.1)

В этом случае фазовое пространство является двумерной плоскостью: по оси абсцисс откладывается регулируемая величина x, а по оси ординат – скорость ее изменения y=dx/dt. Дифференциальное уравнение для фазовых координат можно получить, исключив время из дифференциальных уравнений динамики, записанных в нормальной форме Коши:

. (1.2)

Уравнение фазовой траектории является решением этого дифференциального уравнения. Фазовые траектории имеют следующие особенности: они закручены по часовой стрелке (в верхней полуплоскости ИТ «движется» слева направо, а в нижней – справа налево), пересекают ось абсцисс под прямым углом и не пересекаются нигде, кроме как в особых точках.

Для систем автоматики содержащих нелинейные звенья является нелинейной функцией своих аргументов, поэтому, в общем случае, решение уравнения, для заданных начальных условий, может быть получено с использованием одного из приближенных методов.

1.2.2. Характеристики нелинейных элементов

Обычно в нелинейной системе выделяют несколько звеньев с наиболее ярко выраженными нелинейностями и объединяют их в одно нелинейное безынерционное звено. Остальные звенья считаются линейными и, предполагается, что вся инерционность сконцентрирована в линейной части системы.

Основной характеристикой нелинейного звена является его статическая характеристика.

Статической характеристикой называют зависимость установившегося значения выходной величины от входной величины. Для безынерционных элементов значение выходной величины устанавливается практически сразу после изменения входного воздействия.

Во многих случаях статическую характеристику можно приближенно представить в виде функции, состоящей из отдельных участков линейных зависимостей, с конечным числом точек изломов или разрывов первого рода. К таким нелинейным элементам относят в первую очередь двух- и трехпозиционное реле, нечувствительность и насыщение. В табл. 2.1 приведены некоторые характеристики этих элементов и представлены способы моделирования их в пакете Simulink.

В каждый из этих элементов может быть введена неоднозначность петлевого типа, которая учитывает гистерезис статической характеристики, путем последовательного включения блока Backlash – люфт (раздел Discontinuities). Впрочем, в двухпозиционном реле ширина петлевой зоны неоднозначности может быть учтена непосредственно в окне свойств блока Relay (раздел Discontinuities).

Табл. 1.1. Некоторые типовые нелинейные звенья

Название	Статическая характеристика	Способ моделирования	Примечания
Идеальное двухпозиционное реле		Последовательное соединение блоков Sign и Gain (коэффициент усиления задает уровень релейного выхода ) из раздела библиотеки Math operations.	Такие звенья специально вводятся в состав систем автоматики для защиты, оповещения, аварийного отключения, а также в состав систем регулирования для повышения быстродействия, надежности, для обеспечения оптимального управления и др. Они могут организовываться на различной физической основе (электрические реле, термореле и др.). Все реальные релейные элементы обладают зоной нечувствительности (т.е. являются трехпозиционными элементами) и зоной петлевой неоднозначности (гистерезисом характеристики).
Трехпозиционное реле		Последовательное соединение звеньев Dead zone (задает ширину зоны нечувствительности ), Sign и Gain (задает уровень релейного выхода )
Насыщение		Последовательное соединение блоков Saturation (раздел Discontinuities) и Gain (раздел Math operations). В первом блоке задается полуширина зоны пропорциональности, а во втором –коэффициент усиления – .	Характеристиками типа “насыщение” обладают практически все реальные усилители, ограниченные по мощности в области больших входных сигналов.
Нечувствительность		Блок Dead zone (раздел Discontinuities) – задает полуширину зоны нечувствительности .	Характеристиками типа “зона нечувствительности” обладают многие датчики, а также некоторые схемы электронных, магнитных и гидравлических усилителей в области малых входных сигналов.