Правила дифференцирования

Если функции f и g дифференцируемы в точке то в этой же точке дифференцируемы сумма, произведение и частное (если ) этих функций, причем

Приведем основные правила для нахождения производной:

Производная постоянной равна нулю, то есть c' = 0.
Постоянный множитель можно выносить за знак производной:

(cu(x))' = cu'(x).

Производная алгебраической суммы конечного числа дифференцируемых функций равна такой же сумме производных этих функций, то есть

(f+g) =f +g 

Производная произведения двух дифференцируемых функций равна произведению производной первого сомножителя на второй плюс произведение первого сомножителя на производную второго, то есть

(fg) = f g+g f

Производная частного двух дифференцируемых функций может быть найдена по формуле

Правило нахождения производной сложной функции

Пример нахождения производной сложной функции:

Пример 1.Найти производную функции

Как всегда записываем:

степенная функция – это внешняя функция: Согласно формуле , сначала нужно найти производную от внешней функции, в данном случае, от степени.

По таблице находим нужную формулу: .

Любая табличная формула справедлива не только для «икс», но и для сложного выражения. Таким образом, результат применения правила дифференцирования сложной функции следующий:

Отметим, что когда мы берем производную от внешней функции , внутренняя функция у нас не меняется: Теперь осталось найти производную от внутренней функции: