11.2. Погрешности

Рассмотрим источники погрешнос­тей, возникающие при численной аппроксимации искомой функции. Таких источников три:

1. Погрешность округления обусловлена ограничениями представле­ния чисел в используемой ЭВМ, так как для любой из них число знача­щих цифр, запоминаемых и используемых в вычислениях, ограничено.

2. Погрешность усечения связана с тем, что для аппроксимации

функции вместо бесконечных рядов используются лишь несколько первых членов. Этот обычный для численных методов прием, являющийся источ­ником погрешностей, целиком зависит от применяемых методов решения и не зависит от характеристик самой ЭВМ.

3. Погрешность распространения является результатом накопления погрешностей, появившихся на предыдущих этапах расчета. Так как ни один приближенный метод не может дать совершенно точных результатов, то любая возникшая в ходе вычислений погрешность сохраняется на пос­ледующих стадиях расчета.

Указанные источники погрешностей являются причиной ошибок двух типов:

1. Локальная ошибка - сумма погрешностей, вносимых в вычисли­тельный процесс на каждом шаге вычислений.

2. Глобальная ошибка - разность между вычисленным и точным зна­чением величины на каждом этапе реализации численного алгоритма, оп­ределяющая суммарную погрешность, накопившуюся с момента начала вы­числений.

11.3. Одношаговые методы решения задачи Коши

Одношаговые методы предназначены для решения дифференциальных уравнений первого порядка вида

(11.2)

где y^' = dy/dx, при начальном условии y(x₀) = y₀. С помощью этих ме­тодов вычисляют последовательные значения y, соответствующие диск­ретным значениям независимой переменной x.

11.3.1. Метод Эйлера

Это простейший метод решения задачи Коши, позволяющий интегри­ровать дифференциальные уравнения первого порядка. Его точность не­велика, и поэтому на практике им пользуются сравнительно редко. Од­нако на основе этого метода легче понять алгоритм других, более эф­фективных методов.

Метод Эйлера основан на разложении функции y(x) в ряд Тейлора в окрестности точки x₀:

(11.3)

Если приращение h мало, то члены, содержащие значение h во второй или более высоких степенях, являются малыми величинами более высоких порядков и ими можно пренебречь. Тогда

, (11.4)

где y^'(x₀) находится из дифференциального уравнения путем подстановки в него начального условия. Таким образом можно получить приближенное значение зависимой переменной при малом смещении h от начальной точ­ки. Этот процесс можно продолжить, используя соотношение

, где n = 1, 2, 3, … (11.5)

и делая любое количество шагов.

Графическая интерпретация метода Эйлера показан на рис.11.1.

Ошибка метода имеет порядок h², так как члены, содержащие h во вто­рой и более высоких степенях, стоящие в ряде Тейлора, отбрасываются.

Рис. 11.1

11.3.2. Модифицированный метод Эйлера

Хотя тангенс угла наклона касательной к истинной кривой в ис­ходной точке известен и равен , он изменяется в соответствии с изменением независимой переменной. Поэтому в точке x₀ + h наклон ка­сательной уже не таков, каким он был в точке x₀. Следовательно, при сохранении начального наклона касательной на всем интервале h в ре­зультаты вычислений вносится погрешность.

Рис. 11.2

Точность метода Эйлера можно существенно повысить, улучшив апп­роксимацию производной. Это можно сделать, используя среднее значе­ние производной в начале и конце интервала. В модифицированном мето­де Эйлера сначала вычисляется значение функции в следующей точке по методу Эйлера:

, (11.6)

которое затем используется для вычисления приближенного значения

производной в конце интервала f(x_{n +1}, y^*_{n +1}). Вычислив среднее значение этих производных, можно найти более точное значение y_{n +1}:

(11.7)

Этот прием иллюстрируется рис.11.2. Принцип, на котором основан модифи­цированный метод Эйлера, можно пояснить по-другому. Для этого вер­немся к разложению функции в ряд Тейлора (11.3):

Cохранив член с h² и отбросив члены более высоких порядков, можно повысить точность. Однако чтобы сохранить член с h², надо знать вторую производную y^''(x), которую можно аппрокси­мировать конечной разностью:

(11.8)

Подставив это выражение в ряд Тейлора с отброшенными членами второго порядка, получим:

, (11.9)

что совпадает с полученным выражением (11.7)

Этот метод является методом второго порядка, так как в нем ис­пользуется член ряда Тейлора, содержащий h². Ошибка на каждом шаге имеет порядок h³. Для повышение точности приходится делать дополнительные вычис­ления y^*_{n + 1}. Более высокая точность может быть достигнута при аппроксимации производной путем сохранения большего числа членов ря­да Тейлора. Эта идея лежит в основе методов Рунге-Кутта.