Экономический смысл задачи, двойственной к задаче оптимального использования ресурсов

Составим экономико-математическую модель задачи оптимального использования ресурсов на максимум прибыли.

Теперь сформулируем двойственную задачу. Пусть некая организация решила закупить все ресурсы рассматриваемого предприятия. При этом необходимо установить оптимальную цену на приобретаемые ресурсы у₁, у₂, y₃, … сходя из следующих объективных условий:

— покупающая организация старается минимизировать общую стоимость ресурсов;

— за каждый вид ресурсов надо уплатить не менее той суммы, которую хозяйство может выручить при переработке сырья в готовую продукцию.

Оптимальные значения переменных двойственной задачи называют двойственными оценками (теневыми ценами, объективно обусловленными оценками).

Экономический смысл первой теоремы двойственности можно интерпретировать так: предприятию безразлично, производить ли продукцию по оптимальному плану X и получить максимальную прибыль либо продать ресурсы по оптимальным ценам Y и возместить от продажи равные ей минимальные затраты на ресурсы.

Экономико-математический анализ оптимальных решений базируется на свойствах двойственных оценок. В пределах устойчивости двойственных оценок (для определения этих границ существуют математические соотношения, которые реализованы в «Отчете по устойчивости» Excel) имеют место следующие свойства.

1. Величина двойственной оценки того или иного ресурса показывает, насколько возросло бы максимальное значение целевой функции, если бы объем данного ресурса увеличился на одну единицу (двойственные оценки измеряют эффективность малых приращений объемов ресурсов в конкретных условиях данной задачи).

Сказанное позволяет выявить направления «расшивки» узких мест, обеспечивающие получение наибольшего экономического эффекта, а также целесообразность изменения в структуре выпуска продукции с позиций общего оптимума.

2. Двойственные оценки отражают сравнительную дефицитность различных видов ресурсов в отношении принятого в задаче показателя эффективности. Оценки показывают, какие ресурсы являются более дефицитными (они будут иметь самые высокие оценки), какие менее дефицитными и какие совсем недефицитны (избыточны).

3. Двойственные оценки позволяют определять своеобразные «нормы заменяемости ресурсов»: имеется в виду не абсолютная заменяемость ресурсов, а относительная; т.е. заменяемость с точки зрения конечного эффекта и лишь в конкретных условиях данной задачи.

4. Двойственные оценки служат инструментом определения эффективности отдельных хозяйственных решений (технологических способов), с их помощью можно определять выгодность производства новых изделий, эффективность новых технологических способов:

если — выгодно,

если — невыгодно.

Двойственные оценки как мера влияния ограничений на целевую функцию

Теорема об оценках. Значения переменных y_i в оптимальном решении двойственной задачи представляют собой оценки влияния свободных членов b_i системы ограничений (неравенств прямой задачи) на величину :

.

Решая ЗЛП симплексным методом, мы одновременно решаем двойственную задачу. Значения переменных двойственной задачи y_i в оптимальном плане называют, как выше уже отмечено, объективно обусловленными, или двойственными оценками.

Из теоремы об оценках известно, что колебание величины b_i приводит к увеличению или уменьшению . Оно определяется величиной y_i в случае, когда при изменении величин b_i значения переменных y_i в оптимальном плане соответствующей двойственной задачи остаются неизменными. Поэтому необходимо найти такие интервалы изменения каждого из свободных членов системы ограничений исходной ЗЛП, в которых оптимальный план двойственной задачи не менялся бы.

Для двойственных оценок оптимального плана весьма существенное значение имеет их предельный характер. Точной мерой влияния ограничений на функционал оценки являются лишь при малом приращении ограничения. Известно, что оценки не меняют своей величины, если не меняется набор векторов, входящих в базис оптимального плана, тогда как интенсивность этих векторов (значения неизвестных) в плане могут меняться.