Розділ іі. Основи теорії Галуа.
2.1 Розширення Галуа та група Галуа. Група Галуа многочлена
Означення.
Скінченне розширення
поля
називається нормальним
над полем
або розширенням
Галуа,
якщо будь-який незвідний над
многочлен, який має в
хоча б один
корінь, розкладається в
на лінійні множники. Іншими словами,
розширення
поля
нормальне, якщо виконуються дві наступні
умови:
1). скінченне над ;
2). якщо незвідний над многочлен має в хоча б один корінь, то містить поле розкладу даного многочлена.
Фіксоване поле будемо називати основним полем, а його нормальне розширення − нормальним полем.
Теорема
10. Розширення,
отримане із
приєднанням всіх коренів одного чи
декількох, або навіть нескінченної
множини многочленів із
,
є нормальним.
Спочатку ми можемо звести випадок нескінченної множини многочленів до скінченної множини, бо кожен елемент із поля залежить лише від коренів скінченної множини заданих многочленів і ми можемо при доведенні нормальності, розглядати розклад нерозкладного многочлена, один із коренів якого міститься вданому полі, обмежитися скінченною множиною цих коренів.
Потім випадок скінченної множини многочленів можна звести до випадку одного многочлена, для чого потрібно всі дані многочлени перемножити і приєднувати корені добутку − це теж саме, що приєднувати корені співмножників.
Нехай,
таким чином,
,
де
− корені деякого многочлена
,
і нехай нерозкладний в
многочлен
має в
корінь
.
Якщо
розкладається в
не повністю, то ми можемо приєднати до
ще один корінь
многочлена
і отримаємо поле
.
Тоді, так як
і
спряжені, то
.
При цьому ізоморфізмі елементи із і коефіцієнти многочлена переходять в себе. Приєднаємо тепер зліва і справа всі корені многочлена ; тоді можна буде продовжити ізоморфізм:
,
де
переходять знову в
,
можливо лише в іншому порядку. Елемент
− раціональна функція від
з коефіцієнтами із
:
,
і це раціональне відношення зберігається при будь-якому ізоморфізмі. Звідси сліду, що теж є раціональною функцією від і належить полю , що суперечить умові.
Теорема 11. (обернена до теореми 10) Будь-яке нормальне розширення поля отримується приєднанням усіх коренів деякої множини многочленів і, якщо воно скінченне, − приєднанням коренів навіть скінченної множини многочленів.
Доведення.
Нехай
поле
отримано приєднанням деякої множини
алгебраїчних величин. (В загальному
випадку можна покласти, що
=
;
в випадку скінченного розширення
можна вважати скінченним). кожен елемент
із
задовольняє деякому алгебраїчному
рівнянню
з коефіцієнтами із
,
яке повність розкладається в
.
Приєднання всіх коренів таких многочленів
(відповідно,
якщо таких лише скінченне число, то
всіх коренів їх добутку) дає теж саме,
що приєднання множини
,
тобто дає все поле
.
Це і треба було довести.
Означення. Нерозкладне рівняння називається нормальним, якщо поле, отримане приєднанням одного із коренів цього ріняння, є нормальним, тобто якщо повністю розкладається.