4 Расчет переходных процессов в линейных электрических цепях

4.1 Основные теоретические положения

Переходный процесс возникает в электрических цепях, при различного рода воздействиях (подключении к цепи или отключении от цепи источников электрической энергии, а также при скачкообразном изменении схемы цепи или параметров входящих в нее элементов), которые называются коммутациями. Коммутация осуществляется с помощью идеального ключа: сопротивление ключа в разомкнутом положении равно , в замкнутом – 0.

Будем считать, что коммутация происходит мгновенно . Начало отсчёта времени t = 0 совмещается с моментом коммутации.

Законы коммутации:

1. Ток в индуктивности непосредственно после коммутации сохраняет значение, которое он имел до коммутации при :

2. Напряжение на ёмкости непосредственно после коммутации сохраняет значение, которое оно имело до коммутации при :

Начальные условия − значения токов и напряжений при t = 0.

Независимые начальные условия − это значения тока в индуктивности и напряжения на ёмкости в момент коммутации t = 0, которые определяются на основании законов коммутации путем расчета установившегося режима в цепи до коммутации.

Зависимые начальные условия − это значения токов и напряжений, а также их производных в момент коммутации t = 0, которые могут изменяться скачком, например: и т.п. Они определяются по схеме, образованной после коммутации, по законам Кирхгофа с учетом законов коммутации.

В данном пособии рассматриваются два метода расчета переходных процессов в линейных электрических цепях: классический и операторный.

4.1.1 Классический метод расчета.

Порядок расчета переходных процессов классическим методом:

а) определяют независимые начальные условия и ;

б) записывают дифференциальные уравнения по законам Кирхгофа, искомую переменную (ток или напряжение) представляют в виде:

;

в) определяют принуждённую составляющую путём расчёта установившегося режима в цепи после коммутации;

г) определяют свободную составляющую :

− составляют характеристическое уравнение любым методом, например, методом входного сопротивления, и вычисляют его корни;

− записывают свободную составляющую , выражение свободной составляющей зависит от вида корней характеристического уравнения и для цепи второго порядка имеет вид:

• при действительных и различных корнях < 0 и < 0

;

• при действительных и равных корнях = =р < 0

;

• при комплексно-сопряжённых корнях (α – коэффициент затухания, ω_св – частота свободных колебаний)

или

.

− находят постоянные интегрирования, А₁, А₂ или А, ψ. Для цепи второго порядка постоянные интегрирования определяются по начальным значениям искомой переменной и её первой производной .

Например, если корни характеристического уравнения действительные и различные:

, .

Если корни комплексно-сопряжённые:

, .

д) строят график .

4.1.2 Операторный метод расчета.

Порядок расчета переходных процессов операторным методом:

а) определяют независимые начальные условия: ;

б) составляют эквивалентную операторную схему для цепи после коммутации. Ненулевые начальные условия учитываются введением внутренних (расчетных) ЭДС (или источников тока): в ветвях с индуктивностью вводится ЭДС , в ветвях с емкостью вводится ЭДС . Ниже приведены эквивалентные операторные схемы замещения пассивных элементов:

− резистивное сопротивление

, ;

− индуктивность

,

− ёмкость

, ;

в) рассчитывают по операторной схеме изображение искомой переменной (тока или напряжения) известными методами (законы Ома и Кирхгофа, МКТ, МУП, МЭГ и т.п.). Изображение имеет вид рациональной дроби:

где m < n, – характеристическое уравнение. Затем по изображению функции определяют ее оригинал – функцию времени;

г) оригинал определяют по теореме разложения (см. таблицу 4.1), по таблице оригиналов и изображений, с помощью обратного преобразования Лапласа.

Таблица 4.1 – Теорема разложения

Вид корней характеристического уравнения	Теорема разложения
простые вещественные корни характеристического уравнения	где
знаменатель имеет один нулевой корень:
1. характеристическое уравнение имеет простые вещественные корни и комплексно-сопряженные корни 2. , - комплексные сопряженные корни уравнения	1. 2.