II. Вычислить интегралы:
а)
,
б)
,в)
,г)
.
Решение:
а) Согласно методу подведения под знак дифференциала
;
б) Здесь надо используется формулу
— метод интегрирования по частям:
;
в) Имеем интеграл от рациональной дроби.
т.к.
согласно теории интегрирования правильных
рациональных дробей,
.
Здесь A и B мы нашли следующим образом:
.
г) Воспользуемся формулой Ньютона-Лейбница:
,
тогда
.
Решить типичные задачи:
а),
, б)
,
в)
а)
,
б)
,
в)
,а)
,
б)
,
в)
,а)
,
б)
,
в)
,а)
,
б)
,
в)
,а)
,
б)
,
в)
,а)
,
б)
,
в)
,а)
,
б)
,
в)
,
II. Найти определенные интегралы:
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
Примеры решения аналогичных задач есть в
[1]: примеры 29.1, 29.2,30.1,30.6, 30.7, 30.9,31.4, 31.5 и в [2], том 1: задачи 8.1.1, 8.1.5,8.1.8,8.1.15, 8.1.22, 8.2.1, 8.2.10, 8.3.12 а), 9.1.12, 9.1.46, 9.1.52, 9.1.59, 9.1.61. См. также задачи 8.2.15, 8.2.20, 8.2.27, 8.2.30,8.3.1.
Найти интегралы:
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
11)
12)
13)
14)
15)
16)
17)
18)
19)
20)
21)
22)
23)
24)
25)
26)
27)
28)
29)
30)
31)
32)
33)
34)
35)
36)
37)
38)
39)
40)
.
§8. Дифференциальные уравнения
I. Решить дифференциальные уравнения и задачу Коши:
а).
Решение: Для решения этого уравнения нужно разделить переменные и проинтегрировать:
Окончательно
получим
.
Заметим, что ответ можно преобразовать:
б).
;
Решение: Мы имеем дело с задачей
Коши для линейного однородного
дифференциального уравнения второго
порядка с постоянными коэффициентами.
Сначала найдем общее решение уравнения.
Составим характеристическое уравнение
.
Так как корни характеристического
уравнения
,
то общее решение однородного уравнения
имеет вид
.
Решением задачи Коши является
функция
,
где
– действительные числа, которые нужно
найти из начальных условий. Для
этого возьмем производную
,
подставим в
и
начальные
условия
и решим получившуюся систему
.
Тогда
.
Окончательно,
–
решение задачи Коши.
в).
Решение: Данное дифференциальное уравнение является линейным неоднородным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида.
Общее решение линейного неоднородного
уравнения 2-го порядка состоит из суммы
общего решения соответствующего
линейного однородного уравнения и
частного решения неоднородного
уравнения, т.е. общее решение неоднородного
уравнения дается формулой:
.
Чтобы найти общее решение линейного
однородного уравнения, составим
характеристическое уравнение
и найдем его корни
.
Получили случай действительных различных
корней характеристического уравнения.
Следовательно, общее решение однородного
уравнения:
.
Частное решение неоднородного уравнения
ищем методом неопределенных коэффициентов.
Так как правая часть нашего уравнения
и
,
то частное решение имеет вид:
.
Для функции
найдем первую и вторую производные:
.
Подставим
в исходное неоднородное уравнение и
получим равенство для определения
неопределенного коэффициента
:
,
откуда
,
а
.
Окончательно имеем
– общее решение линейного неоднородного
уравнения.