§ 1.2. Кинематика материальной точки Скорость и ускорение при прямолинейном движении

Если материальная точка движется в одном измерении, то для кинематики достаточно задать скалярную, зависящую от времени координату x=x(t).

Отношение пройденного материальной точкой пути x к промежутку времени t называется средней скоростью материальной точки за время t:

. (1.1)

Мгновенная скорость материальной точки в момент времени t, V(t), есть производная координаты x по времени t:

(1.2)

(заметим, что производная по времени какой-либо функции обозначается точкой над этой функцией).

Ускорение это характеристика неравномерного движения, определяющая быстроту изменения скорости по модулю и направлению.

Ускорение материальной точки a(t) есть первая производная скорости по времени или вторая производная координаты по времени:

(1.3)

Элементы кинематики вращательного движения

Рассмотрим движение материальной точки по окружности. Положение точки М на окружности можно задать угловой координатой – углом , который образует радиус – вектор ОМ с каким  либо неизменным направлением, например, с осью ОХ (рис. 1.1).

Производная угловой координаты  по времени

(1.4)

называется угловой скоростью. Вращение называется равномерным, если угловая скорость постоянна, =const. Величина  = называется частотой обращения. Величина Т =1/ называется периодом вращения.

Рис. 1.1

Первая производная угловой скорости  по времени или вторая производная угловой координаты по времени называется угловым ускорением:

. (1.5)

Если через S обозначить длину дуги окружности ХМ, то ее производные V = dS/dt и дают линейную скорость и линейное ускорение при движении точки по окружности. Если r – радиус окружности, то S = r. Дифференцируя это соотношение по времени, находим

(1.6)

(1.7)

Скорость и ускорение при криволинейном движении

Понятия скорости и ускорения естественным образом обобщаются на случай движения материальной точки по криволинейной траектории. Положение движущейся точки на траектории задается радиус-вектором r, проведенным в эту точку из какой-либо неподвижной точки О, например, начала координат (рис. 1.2). Пусть в момент времени t материальная точка находится в положении М с радиус-вектором r = r(t). Спустя короткое время t, она переместится в положение М₁ с радиусом – вектором r₁ = r(t + t). Радиус – вектор материальной точки получит приращение, определяемое геометрической разностью r = r₁ - r. Средней скоростью движения за время t называется величина

. (1.8)

Направление средней скорости V_ср совпадает с направлением вектора r.

Рис. 1.2

Предел средней скорости при t  0, т. е. производная радиуса – вектора r по времени

(1.9)

называется истинной или мгновенной скоростью материальной точки. Вектор V направлен по касательной к траектории движущейся точки.

Ускорением а называется вектор, равный первой производной вектора скорости V или второй производной радиуса – вектора r по времени:

(1.10)

(1.11)

Отметим следующую формальную аналогию между скоростью и ускорением. Из произвольной неподвижной точки О₁ будем откладывать вектор скорости V движущейся точки во всевозможные моменты времени (рис. 1.3).

Рис. 1.3.

Конец вектора V называется скоростной точкой. Геометрическое место скоростных точек есть кривая, называемая годографом скорости. Когда материальная точка описывает траекторию, соответствующая ей скоростная точка движется по годографу.

Рис. 1.2 отличается от рис. 1.3 только обозначениями. Радиус – вектор r заменен на вектор скорости V, материальная точка – на скоростную точку, траектория – на годограф. Математические операции над вектором r при нахождении скорости и над вектором V при нахождении ускорения совершенно тождественны.

Скорость V направлена по касательной траектории. Поэтому ускорение a будет направлено по касательной к годографу скорости. Можно сказать, что ускорение есть скорость движения скоростной точки по годографу. Следовательно, все соотношения и теоремы, полученные для скорости, остаются справедливыми и для ускорения, если в них произвести замену величин и терменов согласно следующей таблице:

Материальная точка Радиус – вектор Траектория Скорость

   

Скоростная точка Вектор скорости Годограф Ускорение

В качестве простейшего примера найдем ускорения точки, равномерно вращающейся по окружности радиуса r (Рис.1.4.а). Скорость V направлена по касательной к окружности, ее величина определяется выражением . Годоргафом будет окружность радиуса V (Рис.1.4.б). Когда материальная точка М вращается по окружности радиуса r, соответствующая ей скоростная точка А вращается в том же направлении по окружности радиуса V, описывая эту окружность за то же время Т. Положениям материальной точки на траектории М₁, М₂, М₃, М₄ соответствуют на годографе положения скоростной точки А₁, А₂, А₃, А₄ . Ускорение а направлено по касательной к окружности – годографу и притом к центру О траектории вращающейся точки М. По аналогии с формулой , для величины ускорения можно написать

. (1.12)

а) б)

Рис. 1.4

(1.12) есть центростремительное ускорение. Ее можно записать в векторной форме

. (1.13)

Знак минус указывает на то, что направления векторов а и r взаимно противоположны, т.е. ускорение а направлено к центру круговой траектории, по которой вращается материальная точка. Можно также написать для любого положения движущейся точки

, (1.14)

где n – единичный вектор нормали к круговой траектории движущейся точки, направленный к центру О (см. рис.1.4а).

Имея в виду дальнейшие обобщения, представим вектор скорости в виде V = V , где   единичный вектор касательной к окружности. Первый множитель V дает численную величину скорости, второй множитель  указывает ее направление. При равномерном вращении абсолютное значение скорости V остается неизменным, меняется только направление скорости, т. е. единичный вектор . Дифференцированию подлежит только этот вектор, а потому . Сравнивая это выражение с (1.14), получим

. (1.15)

Формулу (1.15) можно использовать в случе произвольной гладкой кривой. Здесь необходимо ввести два новых понятия: величина 1/r и единичный вектор n. Величина 1/r называется кривизной кривой, r – радиусом кривизны, а n – единичным вектором главной нормали к кривой. При этом кривизна 1/r считается существенно положительной. А потому единичный вектор n всегда направлен сторону вогнутости кривой.

Рассмотрим общий случай движения материальной точки по криволинейной траектории. Запишем вектор скорости в виде V = V. Продифференцировав правую и левую часть по времени, получим

, (1.16)

или, с учетом формулы (1.15),

. (1.17)

Ускорение а направлено под углом к траектории. Первое слагаемое в формуле (1.17)

(1.18)

есть вектор, направленный по касательной к траектории. Этот вектор называется касательным или тангенциальным ускорением. Второе слагаемое

(1.19)

есть вектор, направленный вдоль главной нормали в сторону вогнутости траектории. Он называется нормальным ускорением. Таким образом, в общем случае ускорение а можно представить в виде геометрической суммы тангенциального и нормального ускорения:

. (1.20)

Тангенциальное ускорение меняет скорость только по величине, нормальное ускорение меняет ее только по направлению.

Модуль полного ускорения точки

. (1.21)

Рис. 1.5

Направления полного ускорения и его составляющих (а_, а_n) для случая ускоренного движения приведены на рис. 1.5. При замедленном движении вектор а_ имеет противоположное направление.

Характеристика движения материальной точки в зависимости

от тангенциальной и нормальной составляющих ускорения

		Движение
0	0	Прямолинейное равномерное
const	0	Прямолинейное равнопеременное
0	const	Равномерное по окружности
0	0	Равномерное криволинейное
const	0	Криволинейное равнопеременное

Табл. 1.1

Поступательное движение. Это такое движение тела, при котором любая прямая, связанная с телом, все время остается параллельной своему начальному положению. Например, вагон, движущийся по прямому участку пути; кабина колеса обозрения и др.

При поступательном движении все точки тела совершают за один и тот же промежуток времени равные перемещения. Поэтому скорости и ускорения всех точек тела в данный момент времени одинаковы. Таким образом, поступательное движение тела может быть полностью описано, если известны зависимость от времени радиуса - вектора r (t) любой точки этого тела и положение последнего в начальный момент.