24. Векторное изображение синусоидально изменяющихся величин

На декартовой плоскости из начала координат проводят векторы, равные по модулю амплитудным значениям синусоидальных величин, и вращают эти векторы против часовой стрелки с угловой частотой, равной . Фазовый угол при вращении отсчитывается от положительной полуоси абсцисс. Проекции вращающихся векторов на ось ординат равны мгновенным значениям ЭДС е₁ и е₂ (рис. 3).

С овокупность векторов, изображающих синусоидально изменяющиеся ЭДС, напряжения и токи, называют векторными диаграммами. При построении векторных диаграмм векторы удобно располагать для начального момента времени (t=0), что вытекает из равенства угловых частот синусоидальных величин и эквивалентно тому, что система декартовых координат сама вращается против часовой стрелки со скоростью w. Таким образом, в этой системе координат векторы неподвижны (рис. 4). Векторные диаграммы нашли широкое применение при анализе цепей синусоидального тока. Их применение делает расчет цепи более наглядным и простым. Это упрощение заключается в том, что сложение и вычитание мгновенных значений величин можно заменить сложением и вычитанием соответствующих векторов.

Пусть, например, в точке разветвления цепи (рис. 4) общий ток i₃  равен сумме токов i₁  и i₂  двух ветвей: i₃= i₁+ i₂ .

Каждый из этих токов синусоидален и может быть представлен уравнением

;

Результирующий ток также будет синусоидален:

О пределение амплитуды I_3m  и начальной фазы  этого тока путем соответствующих тригонометрических преобразований получается довольно громоздким и мало наглядным. Значительно проще это осуществляется с помощью векторной диаграммы.

На рис. 5 изображены начальные положения векторов токов, проекции которых на ось ординат дают мгновенные значения токов для t=0. При вращении этих векторов с одинаковой угловой скоростью w их взаимное расположение не меняется, и угол сдвига фаз между ними остается равным .

Так как алгебраическая сумма проекций векторов на ось ординат равна мгновенному значению общего тока, вектор общего тока равен геометрической сумме векторов токов: .

Построение векторной диаграммы в масштабе позволяет определить значения I_3m  и ₃ из диаграммы, после чего может быть записано решение для мгновенного значения i₃  путем формального учета угловой частоты: .

Для результирующих колебаний:

= ,

25. Представление синусоидальных эдс, напряжений и токов комплексными числами.

Геометрические операции с векторами можно заменить алгебраическими операциями с комплексными числами, что существенно повышает точность получаемых результатов. Каждому вектору на комплексной плоскости соответствует определенное комплексное число, которое может быть записано в:

показательной    

тригонометрической      или

алгебраической      - формах.

Н апример, ЭДС , изображенной на рис.6 вращающимся вектором, соответствует комплексное число:

.

Фазовый угол  определяется по проекциям вектора на оси “+1” и “+j” системы координат, как .

В соответствии с тригонометрической формой записи мнимая составляющая комплексного числа определяет мгновенное значение синусоидально изменяющейся ЭДС:

 Комплексное число  удобно представить в виде произведения двух комплексных чисел:

Параметр , соответствующий положению вектора для t=0 (или на вращающейся со скоростью w комплексной плоскости), называют комплексной амплитудой: , а параметр  - комплексом мгновенного значения.

Параметр является оператором поворота вектора на угол t относительно начального положения вектора.

Вообще говоря, умножение вектора на оператор поворота есть его поворот относительно первоначального положения на угол ±. Следовательно, мгновенное значение синусоидальной величины равно мнимой части без знака “j” произведения комплекса амплитуды  и оператора поворота :

Переход от одной формы записи синусоидальной величины к другой осуществляется с помощью формулы Эйлера:

Если, например, комплексная амплитуда напряжения задана в виде комплексного числа в алгебраической форме:

,

то для записи ее в показательной форме, необходимо найти начальную фазу _U, т.е. угол, который образует вектор с положительной полуосью +1:

Тогда мгновенное значение напряжения:

,

где .

Если задано мгновенное значение тока в виде , то комплексную амплитуду записывают сначала в показательной форме, а затем (при необходимости) по формуле Эйлера переходят к алгебраической форме:

.

Следует указать, что при сложении и вычитании комплексов следует пользоваться алгебраической формой их записи, а при умножении и делении удобна показательная форма.

Итак, применение комплексных чисел позволяет перейти от геометрических операций над векторами к алгебраическим над комплексами. Так при определении комплексной амплитуды результирующего тока i₃ по рис. 58 получим:

где ;