Общее определение вероятности. Аксиоматический подход.

1. Каждому событию соответствует неотрицательное числов, называемое вероятностью события;

2. Вероятность достоверного события = 1;

3. Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме их вероятностей.

Из этого следует:

1. Вероятность невозможного события равна нулю:

2. Вероятность противоположного события равна единице минус вероятность самого события :

3. Вероятность любого события не больше единицы:

Свойства вероятности.

Теорема сложения:

Вероятность наступления хотя бы одного их двух событий равна сумме вероятностей каждого из них за вычетом их совместного проявления:

Условная вероятность:

Вероятность события В при условии, что А уже наступило, p_a(B)

Теорема умножения:

Вероятность совместного события:

При предположении, что первое уже произошло.

Вычисление условной вероятности:

Следствия:

• Независимые события - событие В независимо от А, если условная вероятность В совпадает с его обычной вероятностью :

• Если А не зависит от В, то и В не зависит от А.

• Если А зависит от В, то и В зависит от А.

• Вероятность наступления совместно независимых событий равна их произведению:

На практике из физической независимости событий делают вывод о теоретической вероятности независимости.

Формула полной вероятности.

Часть II. Случайные величины. Закон распределения случайной величины.

Закон распределения случайной величины – это правило, дающее полное описание этой величины(какие значения и с какой вероятностью она принимает)

Пример:

Х- число очков, выпадающих при однократном бросании кубика.

Полное описание Х:

Эта величина принимает значения от 1 до 6, причём каждое из них с вероятностью 1/6.

Универсальный способ задания закона распределения с помощью функции распределния.

Функция распределения случайно величины Х- такая функция F(x), значения которой определяются по правилу:

F(t) в точке t равно вероятности того, что в результате испытания случайная величина X примет значение меньше t.

Пример:

Вычислим некоторые значения функции распределения случайно величины Х – число очков, выпавших при однократном бросании кубика.

F(0)=p(X<0)=0

F(1)=p(X<1)=0

F(1,2)=p(X<1,2)=1/6

F(2,1)=p(X<2,1)=2/6

F(5)=p(X<5)=4/6

Краткая запись: F(t)=p(X<t)

Свойства функции распределения:

1. Область определения – вся числовая ось

2. Область значений принадлежит отрезку [0;1]

3. Является неубывающей функцией

4. Вероятность попадания случайно величины на интервал [α;β) может быть вычислена по формуле P(α≤x≤β)=F(β)-F(α)

5. На минус бесконечности значения функции распределения равно нулю: F(-∞)=0;

6. На плюс бесконечности значения функции распределения равно единице: F(+∞)=1;

Пример:

При х₁<x₂ F(x₁)=p(x<x₁)≤p(x<x₂)=F(x₂)

Независимые случайные величины.

Случайные величины Х и У называются независимыми, если при любых значениях х и у события (Х<x) и (Y<y) являются независимыми:

p({X<x})*({Y<y})=p({X<x})*({Y<y})

Независимость случайных величин означает, что каждая из них принимает свои значения независимо от другой.