Двойные интегралы.
Индивидуальные домашние задания второго семестра кроме задач на несобственные интегралы и дифференцирование ФМП содержат задачи на интегральное исчисление функций двух и трех независимых переменных. Задания по теме «Двойные интегралы» включают в себя следующие задачи: а) начертить область, на которую распространен двойной интеграл, поменять порядок интегрирования, записать интеграл в полярной системе координат;
б)
используя представление о декартовой
и полярной системах координат на
плоскости, решить задачу на приложения
двойного интеграла. Задача
об объеме цилиндрического тела приводит
нас к понятию двойного интеграла. Если
функция f(x,y)
= f(P)
определена и непрерывна в замкнутой
ограниченной области D
плоскости XOY,
а
- площади элементарных подобластей,
полученных разбиением области D,
диаметры которых d
,
то предел интегральных сумм (если он
существует) называется двойным
интегралом
от функции f
(x,y)
по области D:
3.1 Свойства двойного интеграла.
а) геометрический смысл двойного интеграла – объем цилиндрического тела
б) если f( x,y) = 1, то численно двойной интеграл равен площади области D
в) константу можно выносить за знак интеграла
г) интеграл от суммы функций равен сумме интегралов
д)
если D=
,
где 
- не пересекаются, то
е)
3.2. Вычисление двойного интеграла в декартовой системе координат
А) Пусть функция f(x,y) непрерывна в области D. Если D прямоугольник, то при вычислении двойного интеграла, при a≤x≤b, c≤y≤d имеет место формула (рис. 3.1):
,
которая показывает, что порядок интегрирования можно менять.
Рис 3.1
Б) Если функция f(x,y) непрерывна на множестве (рис.3.2)
D=
Где
(x)
и 
– непрерывны на отрезке 
и
(x)
(x)
на
,
то
=
(3.1)
Рис 3.2 Рис.3.3
Правая часть в (3.1) называется повторным интегралом, то есть результатом последовательного вычисления сначала интеграла по y при фиксированном x, а затем интеграла по x от получившейся функции.
В) Если функция f(x,y) непрерывна в области D (рис.3.3)
D= D= {(c≤y≤d, x1(y) ≤x≤ x2(y)}
Где
функции 
и 
непрерывны на сегменте 
)
на [c,d],
то верно равенство:
=
(3.2)
Г) Если область D такова, что к ней применима и формула (3.1), и формула (3.2), то верно равенство:
(3.3)
Это равенство используется для перемены порядка интегрирования в повторном интеграле. Области более сложного вида следует разбить на части, к которым применимы формулы (3.1) или (3.2).
Следует обратить внимание на то, что если y внешнего интеграла пределы интегрирования всегда константы, то у внутреннего – функции внешней переменной.
Пример: изменить порядок интегрирования в интеграле
В
рассматриваемом примере следует начинать
с построения области интегрирования,
поскольку интегралы заданы с указанием
порядка интегрирования и заданы пределы
по соответствующим переменным. Напомним,
что переменные пределы интегрирования
внутреннего интеграла являются границами
изменения х
при
фиксированном y.
Поэтому область интегрирования 
для первого интеграла при -1≤y≤0
находится между дугами параболы y
= x²-
1, лежащими ниже оси Оx.
Область интегрирования во втором
интеграле при 0≤y≤3
ограничена кривыми
x=-
и
x=2
, которые представляют собой дугу
параболы 
и дугу окружности 
,
лежащие выше оси Ox.
Пусть D=
Рис. 3.4 Рис.3.5
При перемене порядка интегрирования область D можно представить полностью находящейся в вертикальной полосе при -1 ≤x≤2. Сверху область интегрирования ограничена дугой окружности (верхний предел).
Снизу область интегрирования ограничена дугой параболы (нижний предел). Тогда двойной интеграл можно записать так:
Заметим, что перемена порядка интегрирования в повторном интеграле иногда существенно упрощает его вычисление.
Пример:
вычислить
интеграл
,
где область D
ограничена линиями:
и y=0
(рис. 3. 5)
При
каждом фиксированном значении y,
значение x
меняется от 
до x=(2-y)e.
Как видно из рис.3.5, наиболее удобный
порядок
интегрирования
Вычислим внутренний интеграл
Интегрируя
теперь функцию 
по y
в пределах от y=0
до y=1,
получим
При вычислении интеграла
Используем формулу интегрирования «по частям»
Итак,
окончательно интеграл I=2ln2
– 0,5
Пример: изменить порядок интегрирования
В
соответствии с представленными
интегралами видим, что области
расположены в вертикальных полосках
при 3
и при
.
Причем область
ограничена снизу гиперболой
,
а сверху прямой у = 3. Область
также ограничена снизу той же гиперболой
,
а сверху –
прямой
у = 10 – х.
Точки:
А ( 3; 3)
Рис.3.6 B (7; 3), С(9,1)
Как видно из рис. 3.6 вся суммарная область D находится в горизонтальной полосе, поэтому целесообразно записать двойной интеграл в соответствии с формулой (3.2). Пределы интегрирования по у от 1 до 3, левая граница – гипербола , правая граница – прямая ВС : x = 10 – y, т.е.
I
=
Пример: вычислить двойной интеграл
I
=
f
( x,
y
) = 3x-2;
а область D
ограничена прямыми
х=0 , х + у =3 , у= 2х
Рис.3.7
Строим область интегрирования: x=0 – ось Оy, y=2x – прямая.
Угловые точки области: О (0 ; 0) , A (0, 3), B (1,2)
D
Вся область D находится в вертикальной полосе, т.е. целесообразно записать интеграл, согласно формуле ( 3.1).
Поэтому
двойной интеграл запишется через
повторный так :
I=
