Методические указания к решению задачи № 2

2.1. По мере движения газа по соплу (рис.1.4), его абсолютная температура Т и давление р снижаются, а скорость w возрастает (рис. 2.2).

Рис. 2.2.

Скорость газа в узком сечении определя­ется по уравнению

а на выходе из сопла по уравнению

в котором р₂=р_н.

Максимальная скорость на выходе из сопла Лаваля достигается при истечении в абсолютный вакуум, когда р_н/р₂=0.

Массовый расход газа G через сопло Лаваля определяется по уравнению

При этом принимаются параметры либо в критическом (узком) сечении, либо в выходном сечении сопла. При определнии G по параметрам узкого сечения принимаются ω=ω_кр, р=р_кр=p₀β_кр, а параметрам выходного сечения ω=ω₂, р=р₂=р_н (здесь р_н – давление на срезе сопла).

Макси­мальный расход газа ограничивается узким сечением сопла, когда скорость в нем равна скорости звука и β=β_кр, (р/р₀=р_кр/р₀).

Так как при β<β_кр в узком сечении р/р₀=р_кр/р₀=const, то и массовый расход газа остается неизменным, равным максимальному.

Решение задачи рекомендуется выполнять в следующей последовательности:

1. Расчёт параметров газа в критическом сечении.

Находим газовую постоянную для кислорода:

Дж/(кг·К),

где R₀ - универсальная газовая постоянная;  – молярная масса кислорода.

Из уравнения Менделеева - Клапейрона находим плотность газа при полной остановке:

кг/м³.

Находим скорость звука при полной остановке газа:

м/с,

где k – показатель адиабаты, равный 1,41 для двухатомного газа.

Определим скорость звука в критическом сечении:

м/с.

Максимальную скорость газового потока находим по формуле:

м/с.

При расчёте будем пользоваться следующими газодинамическими функциями:

В критическом сечении коэффициент скорости w_кр и число Маха М_кр равны единице:

, откуда находим скорость газового потока в критическом сечении:

м/с; М_кр=1.

Используя газодинамическую функцию (λ), находим температуру газа в критическом сечении:

К;

Рассчитаем давление газа в критическом сечении, используя газодинамическую функцию (λ):

Па;

Найдём плотность газа в критическом сечении, используя газодинамическую функцию (λ):

кг/м³;

Из уравнения неразрывности потока находим площадь критического сечения:

м²;

Находим диаметр критического сечения:

м;

2. Расчёт параметров газа во входном сечении.

Находим коэффициент скорости во входном сечении:

;

Используя газодинамическую функцию (λ), находим температуру газа во входном сечении:

К;

Рассчитаем давление газа во входном сечении, используя газодинамическую функцию (λ):

Па;

Найдём плотность газа во входном сечении, используя газодинамическую функцию (λ):

кг/м³;

Из уравнения неразрывности потока находим площадь входного сечения:

м²;

Находим диаметр входного сечения:

м;

Вычисляем скорость звука во входном сечении:

м/с;

Определяем число Маха во входном сечении:

;

3. Расчёт параметров газа в выходном сечении.

Давление газа в выходном сечении Р_вых равно давлению на срезе сопла Р_ср, т. е. р₂, Р_вых=Р_ср= р₂, МПа.

Используя газодинамическую функцию (λ), находим коэффициент скорости в выходном сечении:

;

Используя газодинамическую функцию (λ), находим температуру газа в выходном сечении:

К;

Найдём плотность газа в выходном сечении, используя газодинамическую функцию (λ):

кг/м³;

Определим скорость газового потока в выходном сечении:

м/с;

Из уравнения неразрывности потока находим площадь выходного сечения:

м²;

Находим диаметр выходного сечения:

м;

Вычисляем скорость звука в выходном сечении:

м/с;

Определяем число Маха в выходном сечении:

;

4. Геометрический профиль сопла.

Определяем длину суживающейся (дозвуковой) части сопла:

м;

Находим длину расширяющейся (сверхзвуковой) части сопла:

м;

Вычисляем общую длину сопла:

м;

Геометрический профиль сопла показан на рис. 1.3.

5. Расчёт дополнительных сечений.

Для расчета принимаются два дополнительных сечения в промежутке между входным и критическим сечениями и два дополнительных сечения в промежутке между критическим и выходным сечениями.

Используя значения скорости во входном, критическом и выходном сечениях, устанавливаем скорость газа в принятом дополнительном сечении, например, в сечении 1 - w₁.

Далее расчет ведем в следующей последовательности:

Находим коэффициент скорости в выбранном сечении 1

Используя газодинамическую функцию (λ), находим температуру газа в сечении 1:

К

Рассчитаем давление газа в сечении 1, используя газодинамическую функцию (λ):

Па

Найдём плотность газа в сечении 1, используя газодинамическую функцию (λ):

кг/м³

Из уравнения неразрывности потока находим площадь сечения 1:

м²

Находим диаметр сечения 1:

м

Расстояние между сечением 1 и критическим сечением:

м

Вычисляем скорость звука в сечении 1:

м/с;

Определяем число Маха в сечении 1:

Аналогично рассчитываем параметры в сечениях 2, 3 и 4.

Данные расчета параметров для основных (входного, критического и выходного) и дополнительных сечений 1, 2, 3, 4 заносим в таблицу 2.1.

Параметры	P10-6, Па	λ	ρ, кг/м3	w, м/с	F, м2	T, К	a, м/с	M
сечения
входное
1 доп.
2 доп
критическое
3 доп
4 доп
выходное

С помощью данных таблицы параметров в основных (входного, критического и выходного) и дополнительных сечениях 1, 2, 3, 4 строим графики зависимости Р, T, w, a, ρ по длине сопла (см. рис. 2.3).

2.2. Прямой скачок уплотнения возникает только в сверхзвуковом потоке (λ₁>1), при этом за скачком поток всегда становится дозвуковым (λ₂<1). Изменение параметров газа при переходе через скачок имеет вид:

Нужно знать, что всегда скорости газа до и после скачка связаны соотношением

λ₁λ₂=1.

Изменения параметров газа при переходе через скачок имеют вид:

где λ₁ = w₁/a_кр.

Критическая скорость звука может быть определена из отношения

Используя приведенные зависимости, определяют скорость течения газа w₂.

Параметры заторможенного потока находим, используя зависимости: