*) Критерии распространяются и на случай использования координатного метода

С3. Решите систему неравенств

Решение. Решим первое неравенство системы.

.

Множество решений первого неравенства системы: .

Решим теперь второе неравенство системы.

Пусть , тогда данное неравенство принимает вид .

Область определения этого неравенства задается условием , откуда или . При левая часть неравенства неотрицательна, а правая отрицательна, следовательно, неравенство выполняется при всех .

Далее имеем:

.

Возвращаясь к переменной x, получаем:

Таким образом, множество решений второго неравенства: .

Принимая во внимание, что , находим решения данной системы: .

Ответ: .

Критерии оценивания выполнения задания С3	Баллы
Обоснованно получен верный ответ	3
Верно решены оба неравенства системы, но не найдено или найдено неверно решение системы ИЛИ Решение доведено до конца, но получен неверный ответ в результате ОДНОЙ арифметической ошибки (описки)	2
Обоснованно получен верный ответ в одном из неравенств системы	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	3

С4. Окружность с центром O, вписанная в треугольник ABC, касается стороны BC в точке P и пересекает отрезок BO в точке Q. При этом отрезки OC и QP параллельны.

а) Докажите, что треугольник ABC ― равнобедренный треугольник.

б) Найдите площадь треугольника BQP, если точка O делит высоту BD треугольника в отношении BO:OD = 3:1 и AC = 2a.

Решение.

а ) Пусть луч BO пересекает сторону AC в точке D. Введем следующие обозначения: , . Тогда , поскольку прямые OC и QP параллельны, а углы COP и OPQ ― накрест лежащие при пересечении прямых PQ и OC секущей OP. Далее, из прямоугольного треугольника OPC находим , а из равнобедренного треугольника OPQ находим . Таким образом, треугольники BOP и BCD подобны, и, значит, биссектриса BD треугольника ABC является его высотой, откуда следует, что треугольник ABC ― равнобедренный треугольник, что и требовалось доказать

б) Отрезок CO ― биссектриса треугольника BCD, следовательно, , откуда . Далее: , откуда и, следовательно, . откуда . Далее, поскольку , то . По формуле Герона находим , откуда .

Ответ: .

Критерии оценивания выполнения задания С4	Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта а) и обоснованно получен верный ответ в пункте б)	3
Обоснованно получен верный ответ в пункте б) ИЛИ Имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ в результате арифметической ошибки (описки) ИЛИ Имеется верное доказательство утверждения пункта а), получен верный ответ в пункте б), но решение недостаточно обоснованно, либо обоснования содержат неточности.	2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ в результате арифметической ошибки (описки) ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт не выполнен или выполнен неверно ИЛИ получен верный ответ в пункте б), но решение недостаточно обоснованно, либо обоснования содержат неточности	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	3

С5. Найдите все значения , при которых неравенство выполняется для всех действительных значений .