2.7. Пример построения линий влияния

усилий в стержнях фермы

Построим линии влияния усилий для расчётных стержней вертикальных ферм стрелы по исходным данным, рассчитанным выше:

тип соединительной решётки – треугольная без стоек,

длина панели фермы а = 2,15 м,

длина пролётной части стрелы l =8a =17,2 м,

длина консольной части стрелы l₁ =5a = 10,75 м,

длина стрелы – L = 13а = 27,95 м,

высота фермы – h = 1,2 м,

база грузовой тележки d = 1,2 м,

расстояние от центра грузовой тележки до последнего шарнира фермы – а_Г = 1,85 м.

Принцип построения линий влияния усилий в различных стержнях фермы изложен выше. Поэтому ниже мы приведём только основные моменты их построения. Для этого проводим два сечения фермы - 1-1 и 2-2 –в середине пролётной части и рядом с опорой В, где возникают от подвижной нагрузки максимальные изгибающие моменты в вертикальной плоскости.

Линия влияния усилия в стержне В₁.

Рассмотрим равновесие левой части фермы. Подвижная нагрузка Р=1 будет находится справа от сечения 1-1, то есть на правой части фермы. Для этого воспользуемся так называемой. Для стержня В₁ «моментной точкой Риттера» будет являться «9» узел фермы нижнего пояса, в котором пересекаются усилия стержней Р₁ и Н₁, раскоса и нижнего пояса.

Воспользуемся третьим уравнением статики. Сумма моментов всех сил, действующих на левую часть фермы относительно этой точки, должна быть равна нулю.

где отношение длины панели фермы к её высоте.

Задаваясь значениями «х» для характерных точек, найдём ординаты линии влияния усилия В₁.

1. При х = 4а

2. При х = 8а = l В₁ = 0.

3. При х = L = 13a

По этим ординатам строим правую часть линии влияния. Для построения левой прямой соединяем нулевую ординату под опорой «А» и ординату h_m под «9» узлом фермы.

Ординаты линии влияния h₁, h₂ и h₃ определяем из подобия треугольников линии влияния по соотношениям

Максимальные усилия в стержне от давления ходовых колёс грузовой тележки будут равны:

усилие сжатия

кН;

усилие растяжения

кН.

Максимальные давления ходовых колёс грузовой тележки определены выше и равны: Р₁ = 28,6 кН и Р₂ = 14,52 кН.

Усилие в стержне В₁ от собственного веса стрелы определим по формуле 2.18

B_1g = q_в(-ω₁+ω₂)

где q_в = 1,375 кН/м – нагрузка от собственного веса стрелы, определённая ранее.

о. е.∙м.

о. е.∙м.

кН.

Линия влияния усилия в стержне В₂.

Усилие в стержне фермы В₂ возникнет только при нахождении подвижной нагрузки на консольной части стрелы. Уравнение равновесия консольной части стрелы:

о. е.

Стержень В₂ верхнего пояса всегда растянут, а усилия в нём от внешних нагрузок определяются по формулам 2.16, 2.17 и 2.18. Определим ординаты линии влияния h₂ и h₃ .

о.е.

о. е.

Усилия в стержне будут равны:

B_2P=2P₂(h₂+h₃) = 2∙14,52 (6,92+7,94) = 431,5 кН.

B_2g = q_в ∙ω = 1.375 ·48,16 = 66,2 кН,

где ω = 0,5·l₁·h_k =0,5·10,75·8,96 = 48,16 о.е.·м – площадь описываемая линией влияния.

Линия влияния усилия в стержне Н₁.

Рассмотрим равновесие левой части фермы при нагрузке Р=1 находящейся на правой части. Из условия её равновесия следует, что сумма моментов всех сил относительно «10» узла равна нулю (где пересекаются усилия В₁ и Р₁) равна нулю.

1. При х = 4,5а

2. При х = l = 8а Н₁ = 0.

3. При х = L = 13a

По этим данным строим правую часть линии влияния, а левую прямую проводим, соединяя нулевую ординату под опорой «А» и ординату под «10» узлом фермы. При «езде» по нижнему поясу ординаты в пределах рассечённой панели фермы – под узлами 9 и 11, необходимо соединить прямой линией. То есть как бы срезать вершину треугольника линии влияния.

Ординаты h₁, h₂ и h₃ под ходовыми колёсами грузовой тележки будут равны:

Площади, описываемые линией влияния Н₁ будут равны

о. е.∙м.

о. е.∙м.

Усилия в стержне фермы Н₁ от внешних нагрузок определяем по выше приведенным формулам:

кН.

кН.

кН.

Линия влияния усилия в стержне Н₂.

Для построения линии влияния стержня Н₂ рассмотрим равновесие консольной части стрелы относительно «18» узла фермы, где пересекаются усилия стержней верхнего пояса и раскоса - В₂ и Р₂ .

о.е.

Определим ординаты линии влияния под ходовыми колёсами грузовой тележки и описываемую ей площадь

о. е.∙м.

Усилия в стержнях нижнего пояса стрелы от внешних нагрузок определяем аналогичным образом как и выше

кН.

кН.

Линия влияния усилия в стержне Р₁.

Рассмотрим равновесие левой части фермы. Р = 1 будет находится на правой части фермы.

Угол наклона раскоса α будет равен

1. При х = 5а – конец рассечённой панели фермы

2. При х = 8а Р₁ = 0.

3. При х = 13a

По этим данным строим правую часть линии влияния.

Рассмотрим равновесие правой части фермы при Р = 1 находящейся на левой части.

1. При х = 0 Р₁ = 0.

2. При х = 4а – начало рассечённой панели фермы

Р₁ =

По полученным ординатам строим левую прямую линии влияния. Ординаты под узлами фермы «9» и «11» соединяем переходной прямой. Рис. 10.

Усилие растяжения определяем для двух положений грузовой тележки - на левой и консольной части стрелы. В дальнейший расчёт принимается наибольшее его значение по абсолютной величине.

Для расчёта усилий от внешних нагрузок определим ординаты и площади линии влияния по формулам 2.17.

о.е.м.

о.е.м.

о.е.м.

Усилия в раскосе определим по формулам 2.19, 2.20.

Усилие растяжения будет равно

1. кН

2. кН.

Для дальнейшего расчёта принимаем усилие в раскосе Р_1Р =35,75 кН.

Усилие сжатия будет равно

кН.

Усилие от собственного веса стрелы

кН.

Рис. 10. Линии влияния в расчётных стержнях ферм.

Линия влияния в раскосе Р₂.

Из условия равновесия консольной части стрелы при нахождении на ней подвижной нагрузки Р = 1 найдём

Линия влияния будет представлять собой прямоугольник и на длине одной панели – треугольник с ординатой равной Раскос всегда будет работать только на сжатие.

Максимальное усилие в нём будут равно:

кН.

кН.

Линии влияния в расчётных стержнях стрелы представлены на рис. 10.