5 Ячеек - полный граф с 5 вершинами и самый простой четырехмерный полиэдр. 8 ячеек, справа, также вызываются ячейкой. Это - четырехмерный аналог куба.

Архимедовы купола - половина Архимедовых сфер. У них есть объем, равный ⅔ призмы, в которую они вписаны. Это было обнаружено только после Архимедовых шаров, площадь поверхности ⅔ от площади поверхности ограниченной призмы ⁵⁰.

Аполлонов конус, названный в честь Аполлона из Перги, использует визуализацию конического сечения. Деревянные модели используются в школах. Правильная фигура демонстрирует образ Хаоса, точка притяжения Лоренца ⁵². Как полагают - это фрактал. Динамика этой совокупности хаотическая для различных параметров.

Лента Мёбиуса была утолщена, чтобы ее можно было напечатать. Правое изображение показывает ленту Мёбиуса с самопересечением. Это пример, где система компьютерной алгебры блистает. Чтобы сделать поверхность более толстой, нам нужно вычислить нормальный вектор в каждой точке поверхности.

Теорема девяти точек Фейербаха (слева), реализованная в 3D (прим. пер.: сама теорема гласит - окружность девяти точек касается вписанной и всех вневписанных окружностей треугольника). Правая фигура иллюстрирует теорему Гиппократа, попытка квадратуры круга (прим. пер.: построение с помощью линейки и циркуля квадрата, равного по площади кругу с радиусом R=1). Треугольник имеет такую же площадь, как «луночки» - серповидные фигуры, ограниченные дугами двух окружностей.

Слева изображен гекслет Содди. Чтобы построить этот массив, потребуется провести соответствующие преобразования, например, преобразования Мёбиуса. Иллюстрация справа показывает существование бесконечного множества плотных объединений в пространстве. Если существует множество близко расположенных кубов и множество близко расположенных шестиугольников, то эти множества можно объединить.

Граф 1/|ζ(x+iy)| показывает нули зета-функции ζ (z) как вершины. Догадка Римана в том, что все эти корни находятся на строке x = Ѕ. Справа изображена Гамма функция, которая расширяет функцию факториала от положительных целых чисел до комплексной плоскости Г (x) = (x - 1)! для положительного x. Эти графы создаются для последующей печати.

Две фигуры из различных областей геометрии. Первое изображение позволяет распечатывать апериодическую черепицу Пенроуза, состоящую из фигур, называемых "дротик" и "воздушный змей". Чтобы создать мозаичное размещение сначала в 2D, мы использовали код из ³⁷ раздел 10.2. Вторая фигура - это третья стадия рекурсивно определенной кривой Пеано, кривая заполнения пространства.

Иллюстрация теоремы в многовариантном исчислении, градиент перпендикулярен уровню поверхности. Второе изображение иллюстрирует экспоненциальное отображение в Римановой геометрии, где мы видим волновые фронты в точке положительного искривления и в точке отрицательного искривления. Дифференциальные уравнения сложны, но Mathematica заботится об этом.

Отпечаток треугольника Пенроуза. Фигура была создана Оскаром Рёйтерсвердом и популяризирована Роджером Пенроузом⁵³. С помощью Mathematica впервые реализована в ³⁶.

Отпечаток упрощенной версии лестницы Эшера. Если объект повернуть под правильным углом, то становится видна невозможная лестница. В напечатанном виде объект может демонстрировать геометрию невозможных фигур.

Зонтик Уитни - символ теории катастроф. Это типичная форма каустики волнового фронта, движущегося в пространстве. Слева мы видим, как поверхность была утолщена, что делает фигуру пригодной для печати. Справа, искривления сетки представлены как трубки. Это так же способ сделать объект пригодным для печати.

Фигура слева демонстрирует многогранник Штеффена, или "изгибаемая поверхность". Можно менять его форму, при этом расстояния между точками будут неизменны. Это удивительно, потому что теорема Коши гласит, что такое невозможно для выпуклых тел⁵⁴. Изображение справа показывает как построить каустику на поверхности заданной формы.

Первое изображение иллюстрирует падающую палку, отталкивающуюся рикошетом от стола. Мы видим стробоскопический снимок траектории. Второе изображение, иллюстрирует орбиту бильярда на трехмерном бильярдном столе⁵⁵.

Левое изображение показывает два изоспектральных цилиндра, созданные Гордоном- Веббом. Правое изображение показывает выполненную распечатку графика оператора Дирака⁵⁶.

Левое изображение показывает каустику кофейной чашки. Это знак теории катастроф. Правое изображение показывает минимальную поверхность Косте, использующую параметризацию, открытую Греем⁵⁷.

Левое изображение демонстрирует граф торуса, правое изображение показывает множество Мандельброта в 3D. Фантастические компьютерные изображения фрактальных пейзажей были получены еще 25 лет назад⁵⁸.

Левое изображение иллюстрирует спектр матрицы, где элементы беспорядочны, но соотнесены. Элементы даны значениями квазипериодической функции. Мы уже наблюдали экспериментально, что график спектральной функции имеет фрактальную природу в комплексной плоскости. Изображение может быть распечатано. Справа пример decic поверхности, нулевое геометрическое место точек f (x, y, z) = 0 многочлена десятого порядка в трех переменных. Мы показываем область определения f (x, y, z) ≤ 0.

Левая фигура изображает геодезический поток на эллипсоиде без осевой симметрии. Последняя теорема Якоби, все еще нерешенная задача, утверждает, что у всех каустических поверхностей есть 4 точки возврата. Правое изображение показывает некоторую геодезию, начинающуюся в точке поверхности вращения.

Волновой импульс на кубе. Несмотря на простоту установки, волновые импульсы становятся очень сложными. Правая фигура показывает аппроксимацию губки Менджера, фрактал в трехмерном пространстве. Это важно для топологии, потому что это содержит очень компактное метрическое пространство топологической размерности 1.

Фигура слева иллюстрирует Эйлеров кирпич. Неизвестно, существует ли кубоид, для которого все длины сторон, все поверхностные и пространственная диагонали - целые числа. Если все поверхностные диагонали целочисленные, то кубоид зовется Эйлеровым кирпичом. Если, вдобавок к этому, пространственная диагональ - целое число, то это совершенный Эйлеров кирпич. Правая фигура показывает, как можно выполнить умножение чисел, используя параболу.

Фигура слева иллюстрирует доказательство теоремы Пифагора⁵⁹. Правая фигура - это доказательство того, что объем пирамиды равен одной трети от площади основания, умноженной на высоту.

Слева предмет по теореме Паппа - Гюльдена слева, и представление теоремы Морли которая гласит, что угол трисектрис произвольного треугольника встречаются в равностороннем треугольнике.

Фигура слева показывает фрактал названный «дерево Пифагора». Правое изображение показывает случайное блуждание в трех измерениях. В отличие от одного или двух измерений, случайные блуждания в трех измерениях не возвращаются с вероятностью 1 ⁶⁰.

Таблицы и фрагменты кода

A) Революции. Первая таблица объединяет информационную и промышленную революции.

Информационные революции		Промышленные революции
Печатный пресс Гутенберга	1439	Паровой двигатель, сталь и текстиль	1780
Механический вычислитель	1642	Автомобили, Химия	1850
Персональный компьютер, сот. телефон	1973	Персональный компьютер, быстрое прототипирование	1969

По промышленным революциям см. ⁶¹ страницу 3, по второй промышленной революции ⁶² страница 2, по третьей см.²¹ страницы 34, 23.

B) Изменения в сообщении, восприятии и учебных кабинетах. В таблице приведены примеры прорывных открытий в сообщениях и вариантах применения в школах. Среднее число указывает, сколько лет назад это произошло.

Сообщение	Восприятие	Учебный кабинет
Алфавит 20К Кость Ишанго Фигуры 6К Таблички из глины Модели 2К Апполон Книги 560 Гутенберг Фото 170 Фотография Фильмы 130 Кинематограф 3D печать 30 Стереолитография	Камера Проекция 1К обскура Салвино Очки 730 Д’Артмате Микроскоп 420 Янссен Телескоп 400 Кеплер Рентген 110 Рентген МРТ 60 Катскан 3D 25 Cyberware сканирование	Модели 2К Греки Счеты 1.5К Абак Классная Тарих аль- 1К доска Хинд Компьютерна 50 Schoonship я алгебра Калькулятор 40 Busicom Powerpoint 30 Presenter 3D модели 15 Makerbot

Ранние системы компьютерной алгебры (computer algebra system - CAS) в1960-х были Mathlab (не путать с MATLAB - прим. ред.), Cayley, Schoonship, Reduce, Axiom and Macsyma⁶³. Как студенту, первому автору были предоставлены Macsyma, Cayley (который позже стал Magma) и Reduce. Мы живем во время, когда начинают размываться границы трех категорий: сотовые телефоны с видео и аудио датчиками, их можно носить как очки и подключать к Паутине. В аудитории учителя уже сегодня фотографируют доклады студентов через сотовый телефон и могут автоматически поставить оценку. Студенты пишут на "умной" бумаге, а программа связывает записанное аудио с написанным текстом. Настанет время, когда студенты смогут распечатать эксперимент по физике и работать с ним.

C) Исходный код для экспорта в файл STL. Следующие строки Mathematica создают объект с 13 соприкасающимися сферами.

D) Формат STL. Приведен верх файла kissing.stl, преобразованного с использованием «admesh» в читаемый человеком формат ASCII. Весь файл имеет 104'000 строк и содержит 14'640 граней. Строка с «normal» содержит вектор, указывающий ориентацию треугольной грани.

E) Примеры Mathematica. Вот примеры основных «миниатюрных программ», которые

могут использоваться для создания форм:

o E1) Дополнение некоторых «узлов»:

o E2) График области:

o E3) Поверхность Шерк-Коллинз ⁶⁴, которая близка к минимальной поверхности:

o E4) Многогранная мозаика: Сейчас команды Mathematica "Транслировать" и "Повернуть" или "Масштабировать" производят STL-файлы, непригодные для печати. Требуется взять части объекта и собрать их вместе. Приведен пример наглядно доказывающий, что возможно заполнить пространство мозаикой из усеченных восьмигранников.

Ссылки

1. R. Netz. The Shaping of Deduction in Greek Mathematics: A study in Cognitive History. Cambridge University Press, 1999.

2. M. Kline. Mathematical thought from ancient to modern times. The Clarendon Press, New York,

2. edition, 1990.

3. E. R. Tufte. Visual Explanations. Graphics Press, Cheshire, 1997.

4. P. Bender. Noch einmal: Zur Rolle der Anschauung in formalen Beweisen. Studia Leibnitiana, 21(1):98-100, 1989.

5. M. Levi. The Mathematical Mechanic. Princeton University Press, 2009.

6. G. Hanna and N. Sidoli. Visualisation and proof: a brief survey of philosophical perspectives. Math. Education, 39:73-78, 2007.

7. A. S. Posamentier. Math Wonders, to inspire Teachers and Students. ASCD, 2003.

8. R. S. Palais. The visualization of mathematics: Towards a mathematical exploratorium. Notices of the AMS, June/July 1999, 1999.

9. E. Slavkovsky. Feasability study for teaching geometry and other topics using threedimensional printers. Harvard University, 2012. A thesis in the field of mathematics for teaching for the degree of Master of Liberal Arts in Extension Studies.

10. O. Knill and E. Slavkovsky. Thinking like Archimedes with a 3D printer.

http://arxiv.org/abs/1301.5027, 2013.

11. J. H. Conway and R. K. Guy. The book of numbers. Copernicus, 1996.

12. C. Goodman-Strauss J. H. Conway, H. Burgiel. The Symmetries of Things. A.K. Peterse, Ltd., 2008.

13. Clifford A. Pickover. The Math book, From Pythagoras to the 57th dimension. 250 Milestones in the History of Mathematics. Sterling, New York, 2009.

14. T. Jackson. An illustrated History of Numbers. Shelter Harbor Press, 2012.

15. A. Fomenko. Visual Geometry and Topology. Springer-Verlag, Berlin, 1994. From the Russian by Marianna V. Tsaplina.

16. M. Berger. A Panoramic View of Riemannian Geometry. Springer Verlag, Berlin, 2003.

17. K. G. Cooper. Rapid Prototyping Technology, Selection and Application. Marcel Dekker, Inc, 2001.

18. C. S. Lim C. K. Chua, K. F. Leong. Rapid Prototyping. World Scientific, second edition, 2003.

19. A. Kamrani and E. A. Nasr. Rapid Prototyping, Theory and Practice. Springer Verlag, 2006.

20. M.Brain. How Stereolithography 3-D layering works.

http://computer.howstuffworks.com/stereolith.htm/printable, 2012.

21. D. Rosen I. Gibson and B. Stucker. Additive Manufacturing Technologies. Springer, 2010.

22. J. Rifkin. The third industrial revolution. Palgrave Macmillan, 2011.

23. J. Rifkin. The third industrial revolution: How the internet, green electricity and 3d printing are ushering in a sustainable era of distributed capitalism. World Financial Review, 2012.

24. Economist. The third industrial revolution. Economist, Apr 21, 2012, 2012.

25. E. M. Rocha J. M. Borwein and J. F. Rodrigues. Communicating Mathematics in the Digital Era.

A. K. Peters, 2008.

26. H. Lipson. Printable 3d models for customized hands-on education. Paper presented at Mass Customization and Personalization (MCPC) 2007, Cambridge, Massachusetts, United States of America, 2007.

27. J. M. Pearce, C.M. Blair, K. J. Kaciak, R. Andrews, A. Nosrat, and I. Zelenika-Zovko. 3-d printing of open source appropriate technologies for self-directed sustainable development. Journal of Sustainable Development, 3 (4):17-28, 2010.

28. G. Lacey. 3d printing brings designs to life. techdirections.com, 70 (2):17-19, 2010.

29. R. Q. Berry, G. Bull, C. Browning, D. D. Thomas, K. Starkweather, and J. H. Aylor. Preliminary considerations regarding use of digital fabrication to incorporate engineering design principles in elementary mathematics education. Contemporary Issues in Technology and Teacher Education, 10(2):167-172, 2010.

30. D. Cliff, C. O'Malley, and J. Taylor. Future issues in socio-technical change for uk education. Beyond Current Horizons, pages 1-25, 2008. Briefing paper.

31. G. Bull and J. Groves. The democratization of production. Learning and Leading with Technology, 37:36-37, 2009.

32. B. Evans. Practical 3D Printers. Technology in Action. Apress, 2012.

33. S. Singh. Beginning Google SketchUp for 3D printing. Apress, 2010.

34. J. F. Kelly and P. Hood-Daniel. Printing in Plastic, build your own 3D printer. Technology in Action. Apress, 2011.

35. M. P. Skerritt J. M. Borwein. An Introduction to Modern Mathematical Computing. With Mathematica. SUMAT. Springer, 2012.

36. M. Trott. The Mathematica Guide book. Springer Verlag, 2004.

37. S. Wagon. Mathematica in Action. Springer, third edition edition, 2010.

38. R. E. Maeder. Computer Science with Mathematica. Cambridge University Press, 2000.

39. S. Kamin P. Wellin and R. Gaylord. An Introduction to Programming with Mathematica. Cambridge University Press, 2005.

40. J. H. Conway and N. J. A. Sloane. Sphere packings, Lattices and Groups, volume 290 of A series of Comprehensive Studies in Mathematics. Springer Verlag, New York, 2.nd edition edition, 1993.

41. J. Leech. The problem of the thirteen spheres. Math., Gazette, 40:22-23, 1956.

42. A. Van Oosterom and J. Strackee. The solid angle of a plane triangle. IEEE Trans. Biom. Eng., 30(2):125-126, 1983.

43. C. Olah. STL suppport in SAGE. Discussion in Google groups in 2009.

44. G. Hart. Geometric sculptures by George Hart. http://www.georgehart.com

45. Makerbot. Thingiverse. http://www.thingiverse.com.

46. O. Knill. A discrete Gauss-Bonnet type theorem. Elemente der Mathematik, 67:1-17, 2012.

47. T. L. Heath. A history of Greek Mathematics, Volume II, From Aristarchus to Diophantus. Dover, New York, 1981.

48. T. L. Heath. A Manual of Greek Mathematics. Dover, 2003 (republished).

49. I. Thomas. Selections illustrating the history of Greek Mathematics. Harvard University Press, third edition, 1957.

50. T. M. Apostol and M. A. Mnatsakanian. A fresh look at the method of Archimedes. American Math. Monthly, 111:496-508, 2004.

51. R. Netz and W. Noel. The Archimedes Codex. Da Capo Press, 2007.

52. C. Sparrow. The Lorenz equations: bifurcations, chaos, and strange attractors, volume 41 of Applied Mathematical Sciences. Springer-Verlag, New York, 1982.

53. G. Francis. A topological picture book. Springer Verlag, 2007.

54. M. Aigner and G.M. Ziegler. Proofs from the book. Springer Verlag, Berlin, 2. edition edition, 2010. Chapter 29.

55. O. Knill. On nonconvex caustics of convex billiards. Elemente der Mathematik, 53:89-106, 1998.

56. O.Knill. The McKean-Singer Formula in Graph Theory. http://arxiv.org/abs/1301.1408,2012.

57. A. Gray. Modern Differential Geometry of Curves and Surfaces with Mathematica. CRC Press, 2 edition, 1997.

58. H-O. Peitgen and D. Saupe. The Science of Fractal Images. Springer-Verlag New York Berlin Heidelberg, 1988.

59. H. Eves. Great moments in mathematics (I and II). The Dolciani Mathematical Expositions. Mathematical Association of America, Washington, D.C., 1981.

60. W. Feller. An introduction to probability theory and its applications. John Wiley and Sons, 1968.

61. P. Deane. The first industrial revolution. Cambridge University Press, second edition, 1979.

62. M. Levin, S. Forgan, M. Hessler, R. Hargon, and M. Low. Urban Modernity, Cultural Innovation in the Second Industrial Revolution. MIT Press, 2010.

63. S. Weinzierl. Computer algebra in particle physics. http://www.arxiv.org/hep-ph/0209234, 2002

64. B. Collins. Sculptures of mathematical surfaces.

http://www.cs.berkeley.edu/sequin/SCULPTS/collins.html.

Переводчики: Woolpit, alex_itz

Наука и искусство - периодические мозаики

Джанкарло Джирарди

Международный центр теоретической физики им. Абдуса Салама, Триест, Италия ghirardi@ictp.it

Между наукой и искусством есть чёткие взаимоотношения. Это естественно: с одной стороны, множество живых организмов проявляет бесчисленные, поразительные формы симметрии, которые, в свою очередь, значительно повлияли на художественную практику; с другой стороны, учёные поняли, что один из самых рациональных способов раскрыть законы вселенной — это обратиться к анализу симметрии.

Мозаичное разбиение плоскости Эшера, воспроизведённое на дешёвом 3D-принтере

Итак, во-первых, многие художники обратили особое внимание на симметрию, в ряде случаев даже сделали её ведущим каноном своих художественных произведений. Типичный пример — музыка, которая, в общем-то, вся пронизана и регулируется принципами симметрии и порой делает требования симметрии основным правилом создания произведения. Самые

характерные и впечатляющие примеры этого представляют нам поздние работы И.С. Баха «Искусство фуги» и «Музыкальное приношение».

Аналогичный процесс характерен для многих произведений изобразительного искусства, от архитектуры (в западноевропейской традиции она тоже относится к изобразительным искусствам — прим. пер.) до скульптуры и живописи. Можно составить подробный список случаев, когда условие симметрии стало основополагающим структурным элементом визуальных композиций, но, безусловно, самый образцовый пример представлен в графических работах великого нидерландского художника М.К. Эшера (M.C. Escher). Действительно, он систематически обращался к вопросу составления мозаики на плоскости, т.е., выявления простых элементов мозаики, которые, если разложить их рядом, позволяют сплошь покрыть всю плоскость.

13D-модель предыдущей мозаики М.К.Эшера

Тот же вопрос представлял собой серьёзную задачу для математических исследований. На самом деле это было просто уточнением теории групп, одного из основных формальных инструментов этой дисциплины. Это уточнение позволило доказать, что если рассматривать проблему с точки зрения симметрий, описывающих элементы вышеописанной мозаики (очевидно, что разные изображения могут проявлять одну и ту же форму симметрии), то найдётся лишь 17 способов достичь нужного результата.

Цель данной лекции — разъяснить, как так получается, что соображения симметрии подразумевают очень строгие условия, которым должны соответствовать все возможные элементы мозаики, и, как следствие, они чрезмерно ограничивают их количество.

Несмотря на то, что эта книга имеет дело с основополагающим и очень многообещающим предметом — доступной 3D-печатью, и несмотря на то, что трёхмерная симметричная структура

кристаллов очень тесно связана с проблемой мозаичного представления трёхмерного пространства, я ограничусь рассмотрением почти исключительно одномерных и двухмерных случаев, то есть создания повторяющихся орнаментальных фризов и мозаичного разбиения плоскости на идентичные фрагменты. Как мы видели в случае двухмерной плоскости, определить все возможные способы фрагментации — уже предельно сложная задача. При переходе к трём измерениям сложность увеличивается ещё сильнее. Фактически, в то время как есть всего семь типов упорядоченных линейных структур и, как уже упоминалось, 17 типов мозаичного разбиения двухмерного пространства, в трёхмерном случае возможных разбиений (мы говорим о разбиениях с симметричной структурой) оказывается 230.

Несколько примечаний в заключение. Меня пригласили прочитать лекцию для широкой публики, не имеющей никакого определённого отношения к научным проблемам. Что ж, так получилось, что много лет назад я занимался, просто ради развлечения, той же самой проблемой, которая вдохновила Эшера, т. е. выполнением мозаичного разбиения плоскости. А поскольку я считаю, что полученные мною рисунки могут показаться интересными, я завершу своё выступление упоминанием причин, по которым я взялся за претенциозную задачу создания более 30 мозаик. На самом деле я был движим странным замыслом создания колоды Таро, в которой все обычные рисунки, которые можно найти в большинстве карточных колод, имели бы форму, позволяющую составить мозаику. Мне кажется уместным добавить несколько слов о том, как я пришёл к тому, что я сделал.

Со школьных времён я интересовался представлениями Фрейда о нашем психологическом развитии. Много позже я прочёл увлекательную книгу известного итальянского писателя Итало Кальвино (Italo Calvino) «Замок скрещённых судеб». Идея Кальвино очень проста: проверить, зависит ли символическая ценность рисунка от контекста, в который он помещён. В романе множество людей, пережив ужасные события, потеряли способность говорить. Поэтому, когда они приезжают в Замок и находят на столе Колоду Таро, один из них начинает раскладывать последовательность карт, которая вкратце передаёт его историю. Игру продолжают другие, до тех пор пока один из них не оказывается перед большой прямоугольной площадью, замощённой всеми картами. Любая последовательность, которая образуется при перемещении по прямоугольнику карт в разных направлениях (по горизонтали, вертикали, диагонали и т. д.), складывается в захватывающую историю (Гамлет, Эдип и т. д.), и эти истории, то есть судьбы их героев, в буквальном смысле пересекают друг друга.

Таким образом я начал интересоваться картами Таро. И обнаружил, что есть разные возможности их интерпретации, от самых глупых, таких как их использование для предсказания будущего, до исследований серьёзных учёных, например Юнга (Jung) и Райхенбаха (Reichenbach). Мне стало очевидно, что с позиции фрейдизма у любого изображения таро есть определённое значение (обычно Император — это образ отца, Императрица — требовательной матери, Верховная Жрица — хорошей, отзывчивой матери, Влюблённые символизируют выбор между принципом удовольствия и реальности и т. д.). Если смотреть с этой точки зрения, то естественным образом приходишь к следующей мысли: каждое изображение показывает ключевой момент личного психологического развития. Но если кто-то является жертвой какого- нибудь «комплекса», давайте вспомним, к примеру, эдипов комплекс, то этот комплекс пропитывает собой весь его мир.

Для тех, кто знал и любил Эшера, предположение было очевидным и интеллектуально заманчивым: так как мир карт двухмерен, то для того, чтобы показать всеобъемлющую роль отображённых в картах ключевых психологических моментов, связанные с ними образы должны заполнить двухмерный мир самих карт. Таким образом и родилась идея периодической колоды Таро.

Переводчики: aks_id

Печатная модель детектора ALICE из CERN

Штефан Россеггер

CERN — Европейская организация по ядерным исследованиям, Швейцария Stefan.Rossegger@cern.ch

Понимание принципа — это начало понимания науки. Без концептуального осмысления невозможно донести до широкой публики идею того, чего вы хотите достичь. Без заинтересованности широкой публики вы никогда не вдохновите следующее поколение учёных и исследователей, от которых будет зависеть грядущая наука.

Когда принципы можно легко продемонстрировать, как, например, в химии или биологии, тогда научные результаты можно без проблем показать широкой публике, которая может ничего не знать о происходящей реакции. Эффектные результаты притягивают взгляд, моментально вызывают интерес и удерживают внимание людей, позволяя объяснить стоящую за ними науку.

В случае с физикой элементарных частиц, которую изучают и испытывают в ЦЕРН, трудность состоит в том, что мы имеем дело с реакциями, которые невозможно увидеть напрямую. Частицы образуются при столкновениях в Большом адронном коллайдере (БАК), самом большом ускорителе частиц в мире. Их траектории и свойства определяются на основе их взаимодействий в детекторах, компьютерного мониторинга и последующего математического моделирования. Из-за запутанности научных экспериментов и их концептуально сложной природы — как относящихся к физике элементарных частиц — объяснить по-простому, чем занимается БАК, становится огромной проблемой. Эти реакции практически за гранью воображения широкой публики.

Поэтому приходится искать другие концептуальные методы привлечения людей. 3D- модели и являются такими попытками объяснить, как выглядят детекторы частиц, как они работают и что происходит во время столкновения. Сначала немного об истории ЦЕРН и эксперимента ALICE и наших усилиях по подержанию интереса у людей.

ЦЕРН возникла в 1950-е годы как Европейская организация по ядерным исследованиям. Сегодня она также известна под названием Европейская лаборатория физики элементарных частиц. Это один из самых авторитетных мировых исследовательских центров с главным офисом в Женеве, Швейцария. Здесь занимаются фундаментальной физикой — изучают, что приводит в движение нашу Вселенную. Несколько самых больших и самых сложных в мире механизмов используются в ЦЕРН для изучения самых крошечных строительных блоков природы — элементарных частиц. Сталкивая эти сверхмалые частицы материи, физики выявляют базовые законы природы. Лаборатория предоставляет исследователям самое передовое научное оборудование. Это ускорители, которые разгоняют крошечные частицы почти до скорости света, и детекторы, которые выполняют роль электронных глаз, делая частицы видимыми.

Сейчас ЦЕРН использует новый ускоритель частиц, который называется Большим адронным коллайдером (БАК). Этот механизм — современный инструмент мировых физиков, с которым они могут проникнуть глубже, чем в сердце материи. На БАК проводится множество экспериментов, в которых сотрудничают физики со всего мира. Эти физики создают детекторы частиц в своих домашних институтах и привозят их в ЦЕРН, чтобы записать результаты столкновения частиц. БАК позволяет провести четыре разных эксперимента со столкновениями. Они называются ATLAS, CMS,

LHCb и ALICE.

Экспериментальная

установка ALICE, на которой я работаю, это акроним «A Large Ion

Collider Experiment», что

переводится как «Эксперимент

большого ионного коллайдера». В отличие от других опытов на БАК, здесь изучаются столкновения тяжёлых ядер, что позволяет нам приблизится к самой ранней стадии существования Вселенной — Большому взрыву. ALICE была разработана и создана для

измерения — самым доскональным

из возможных способов — частиц,

ALICE - это «Эксперимент большого ионного коллайдера»

возникающих при столкновениях в её центре. Таким образом мы можем реконструировать и изучить развитие Вселенной в пространстве и времени. Чтобы сделать это, приходится использовать много разных детекторов, каждый из которых предоставляет физикам свою часть данных. Чтобы понять такую сложную систему, нужно наблюдать это необыкновенное явление с различных точек зрения, используя несколько инструментов одновременно.

Группа цилиндрических детекторов (от центра наружу: внутренняя трековая система (ITS), время-проекционная камера (TPC), детектор переходного излучения (TRD)) делает измерения во множестве точек (более 100 только в TPC), через которые проходит каждая несущая электрический заряд частица, и таким образом её траектория становится досконально известна. Следящие детекторы ALICE встроены в магнитное поле, изгибающее траектории частиц, и по кривизне дорожек можно определить их импульс. Внутренняя трековая система (ITS) настолько точна, что частицы, которые порождаются при распаде других частиц с очень коротким временем жизни, можно распознать по тому, что они возникли не в той точке, в которой происходило взаимодействие (т.е. не в «вершине» события), а в другой, расположенной на расстоянии одной десятой миллиметра от первой.

Кроме этого ALICE стремится узнать индивидуальные параметры каждой частицы, будь то электрон, протон, каон или пион. В дополнение к информации, получаемой от ITS и TPC,

требуется больше специализированных детекторов. Детектор времени полёта (TOF) с точностью более чем в одну десятую одной миллиардной доли секунды определяет время, затрачиваемое каждой частицей на перемещение к нему из «вершины» события. Таким образом можно измерить её скорость. А детектор переходного излучения (TRD) измеряет особое излучение, испускаемое очень быстрыми частицами при прохождении через различные материалы, делая таким образом возможной идентификацию электронов. Мюоны можно измерить благодаря тому факту, что им проще проникнуть в материю, чем большинству других частиц: расположенный в передней части толстый комбинированный фильтр останавливает все другие частицы, и тогда мюоны подвергаются измерению специальным набором детекторов, мюонным спектрометром.

Из-за уже упомянутой концептуальной сложности объяснения науки, стоящей за БАК и его экспериментами, ЦЕРН приходится использовать множество способов для того, чтобы сделать скрытую часть экспериментов ближе к жизни. Один из способов ЦЕРН — это визуализация на компьютерном экране дорожек созданных при столкновениях частиц. Для непрофессионала столкновение похоже на фейерверк. Визуализация показывает дорожки частиц, которые отслеживаются детекторами после того, как происходит столкновение. Мы делаем это с помощью AliROOT, специально разработанного пакета программного обеспечения, который не только визуализирует дорожки, но и может считывать необработанные данные детекторов, отслеживает и распознаёт структуры и используется для итогового анализа данных. Вдобавок этот дисплей - главный элемент

нашего посетительского центра Globe и выставки ALICE.

3D-модель, которую мы

напечатали методами быстрого моделирования, это абсолютно статичная визуализация одного из первых столкновений тяжёлого иона, измеренного одним из наших детекторов — время-проекционной камерой (TPC) в 2010 году, что стало событием исторического масштаба. 3D-модель TPC, как и дорожек, была создана в свободной программе для

моделирования Blender. Мы

использовали дополнительный

программный модуль на языке

_Python, чтобы загрузить _{3D-модель первого столкновения тяжёлого иона}

реконструкцию свойств частицы из

вышеупомянутого пакета AliRoot. Позже Shapeways, обычная коммерческая компания, распечатала всё это, и результат можно увидеть на рисунке на следующей странице.

Создание этой 3D-модели позволяет нам продемонстрировать реакции таким образом, чтобы они оставались интересными визуально, не будучи слишком концептуальными. Например, линии/дорожки с сильным изгибами выступают в роли частиц с низким импульсом. Самые длинные линии/дорожки показывают частицы, которые в основном движутся со скоростью света; более короткие — это более тяжёлые и оттого более медленные частицы, и так далее.

3D-распечатка первого столкновения тяжёлого иона

Эта модель — только первый шаг к выставке, на которой мы попытаемся показать наш детектор и объяснить стоящую за ним науку широкой публике.

Переводчики: aks_id

Крупномасштабная 3D-печать - от океанских глубин до Луны

Валентина Колла, Энрико Дини

Высшая школа Св. Анны, институт TeCIP, лаборатория PERCRO, Пиза, Италия, colla@sssup.it

Компания Monolite UK, 101 Wardour Street W1F 0UN, Лондон, Великобритания enrico.dini@d-shape.com

Введение

Интерес научного и технического сообщества к крупномасштабным трёхмерным печатным технологиям в последние годы не перестаёт расти. Это происходит благодаря широкому спектру потенциальных применений при строительстве как частей зданий, так и целых домов и других сложных конструкций практически любой формы. Со времени своего появления, которое датируется 90-ми годами, техники быстрого производства в строительных масштабах достигли весьма зрелого уровня,

сегодня они используются при производстве стен,

крупных скульптур и

дизайнерских объектов, в

первую очередь для

уличного использования. На рисунке 1 изображены три примера объектов, а на

рисунке 2 — целый дом

небольшого размера.

Рисунок 1 Уличная скульптура, скульптура «Радиолярия» и «шезлонг» для сада

Рисунок 2 Готовый дом

Все предметы, представленные на рисунках 1 и 2, были созданы при помощи технологии D- Shape, изобретённой и запатентованной инженером Энрико Дини (Enrico Dini) из Monolite UK. Эта технология отличается от самых известных участников рынка (например, Freeform Construction¹, разработанной в Научно-исследовательской группе быстрого производства Университета Лафборо и Contour Crafting²).особой функцией выборочного катализа веществ в пласте подготовленного песчаного грунта путём точечного впрыска жидких «чернил»; другие техники основаны на экструзии строительного материала, предварительно смешанного со связующим веществом или катализатором. Эта особенность позволяет печатать с D-Shape очень крупногабаритные сооружения, ведь единственное, что ограничивает объём — это размер области печати. Самая новая версия принтера (гигантский плоттер с длинной распыляющей головкой, движущейся вдоль двух рам по осям X-Y), изображённая на рисунке 3, имеет область печати 6Ч6 м и достигает 3 м в высоту.

Создание строительных блоков для лунного поселения

За свои уникальные свойства технология D-Shape была избрана для участия в проекте «3D- печать строительных блоков с использованием лунного грунта», субсидированного Европейским космическим агентством (ЕКА) и направленного на развитие концепций строительства поселений для постоянного обитания человека на Луне³.

Создание человеческих колоний на Луне очень интересно с точки зрения ведения научных

Рисунок 3 Принтер D-Shape

экспериментов, наблюдения за какой-нибудь отдалённой частью космоса без помех атмосферного щита, а также как основа для миссий по изучению глубокого космоса. Как и любая другая колонизация в человеческой истории, даже лунная должна использовать местный материал для базовой конструкции «домов». Но на Луне только песчаный грунт и немного ледяной воды. Лунный песок называют реголитом. Первая часть вышеупомянутого проекта была посвящена поиску подходящего вещества, воспроизводящего основные свойства реголита. Затем проводились тесты в вакууме, чтобы доказать, что технология D-Shape применима в отсутствие атмосферы и при пониженной гравитации, то есть в условиях, приближённых к лунным.

Эти эксперименты проходили в одной из вакуумных камер Alta SpA. Технология D-Shape к тому же была модифицирована для эксплуатации суровой лунной окружающей среды при очень ограниченной поддержке со стороны людей-операторов (возможность дистанционного управления без человеческого контроля тоже рассматривалась). Высшая школа Св. Анны провела исследования в этом направлении: принтер оснастили камерой, фотографирующей каждый напечатанный слой, и алгоритмами обработки изображений, способными сравнивать

напечатанную поверхность с её идеальной формой и находить возможные дефекты. Логические

схемы управления тоже были модифицированы, чтобы в автономном режиме выявлять и исправлять сбои в работе и дефекты печати. В заключение вся конструкция принтера была перепроектирована таким образом, чтобы она могла быть — в будущем — более гибкой, приспосабливаемой к неровному лунному грунту и, прежде всего, способной двигаться и взаимодействовать с другими автономными и полуавтономными вспомогательными

аппаратами, например с теми,

которые будут собирать реголит для печати.

Модель конструкции лунного поселения и строительных блоков

была разработана известной

лондонской дизайнерской

компанией Fosters+Partners, которая тоже участвовала в проекте. Лунные «дома» должны быть похожи на иглу с толстым внешним куполом из реголита. Внутренняя конструкция купола будет скомпонована по принципу замкнутых ячеек (то есть запертых внутри полых пузырьков),

что обеспечит приемлемую

теплоизоляцию и защиту от

микрометеоров, не требуя

чрезмерного количества связующего вещества. Ну а самую глубокую

Рисунок 4 Строительный блок внешнего купола лунного поселения и процесс его печати

«внутренность» образует

воздухоопорная герметичная конструкция. Диаметр нижнего слоя

будет около 10 м, а общая высота — около 5 м. На рисунке 4 показан опытный образец строительного блока (общим объёмом около 1,5 м3) с демонстрацией одного из слоёв в разрезе, а также процесс печати этого образца, чтобы было понятно, насколько технология D-Shape эффективна для создания подобной конструкции.

На рисунке 5 изображён макет укомплектованного лунного поселения.

Рисунок 5 Макет лунного поселения (с любезного разрешения

Fosters+Partners, участвовавших в проекте, профинансированном ЕКА)

D-Shape для морской среды

Пористость объектов, напечатанных по технологии D-Shape, делает их пригодными для внедрения в естественную среду. Например, на этих конструкциях могут легко укрепиться вьющиеся растения, постепенно покрывая их и порождая уникальные и неожиданные формы, в полном согласии с природным ходом вещей. По тому же принципу подводная растительность и представители мелкой морской фауны могут использовать этот вид конструкции (при условии подходящего дизайна) как благоприятное место для жизни и размножения. Поэтому данные предметы можно с успехом использовать для быстрого восстановления морского дна, повреждённого природными явлениями или человеческим вмешательством (например, при авариях или из-за вредящих окружающей среде сооружений).

Заключение

D-Shape — одна из самых крупномасштабных технологий 3D-печати, использующая в качестве сырья песок, соединённый особым связующим веществом. Она позволяет распечатывать сооружения самой разнообразной формы и для самых разных нужд, от архитектуры до искусства, подходящих для самых разных сред, таких как сады, парки, здания и океанское дно. Ближайшие работы будут посвящены, с одной стороны, дальнейшему развитию принтера, тому, чтобы сделать его более быстрым и способным к самодиагностике в случае сбоя; с другой стороны, сейчас изучаются и разрабатываются новые сферы применения, главным образом связанные с экологически безопасной архитектурой и конструкциями для восстановления природной среды.

Благодарности

Сооружения для строительных блоков лунного поселения были разработаны в рамках проекта «3D-печать строительных блоков с использованием лунного грунта», профинансированного Европейским космическим агентством по плану субсидирования «Программы общих исследований» (GSP). Авторы хотели бы поблагодарить за ценный вклад всех участников проекта, в особенности команду под руководством Джованни Чезаретти (Giovanni Cesaretti) из Alta S.p.A., команду Ксавье де Кестелье (Xavier De Kestelier) из Fosters+Partners, а также Лорана Памбагиана (Laurent Pambaguian) и Скотта Ховленда (Scott Hovland) из ЕКА, которые снабдили всю команду проекта своими обширными знаниями об условиях космических исследований.

Ссылки

1. Buswell et al.: “Freeform Construction: mega-scale rapid manufacturing for

construction”,Automat. Construct., 16 (2), pp. 224-231, 2007.

2. B. Khoshnevis, D. Hwang: “Contour Crafting, a mega scale fabrication technology”, Manufact. Sys. Eng. Series, 6 (II), pp. 221-251, 2006.

3. F. Ceccanti, E. Dini, X. De Kestelier, V. Colla, L. Pambaguian: “3D printing tecnology for a moon outpost exploiting lunar soil”, Proceedings of the 61th International Astronautical Congress IAC 2010, Prague, Czech Republic, September 27- October 1 2010.

Переводчики: aks_id, kindra, Zayac316

Моделирование губчатой костной ткани посредством 3D печати физических копий

Валдир Л. Роке

Программа магистратуры по прикладной математике, Федеральный университет РиуГранди-ду-Сул, Порто Алегре, Бразилия

roque@mat.ufrgs.br

Введение

Остеопороз известен, как бессимптомная болезнь, для которой характерна потеря веса костей и ухудшение губчатой микроархитектуры, кости становятся хрупкими и увеличивается риск переломов^1,2. С нынешним увеличением продолжительности жизни, остеопороз стал общей проблемой здоровья, с глубоким социальным и экономическим влиянием³. Несмотря на то, что масса кости является весомым источником информации по её механическому сопротивлению нагрузке, на сегодняшний день известно, что есть и другие факторы также важные для установления качества кости, прогнозирования риска переломов. В мировой практике потеря массы определяется измерением плотности минералов кости (BMD) - золотой стандарт диагностики остеопороза. Однако, BMD оценивает поверхностную плотность кости, а это лишь один аспект качества кости. Существует ряд других факторов, также играющих существенную роль в формировании качества кости, в частности - губчатая микроархитектура кости⁴.

Кость - это орган, состоящий, в основном, из костной ткани, которая является сочетанием органических клеток и костного матрикса - на ⅔ это гидроксиапатит и на ⅓ коллагеновые волокна, клетки составляют 2-3% от костной ткани. Кости бывают двух типов, компактные или пластинчатые, и пористые, еще называемые губчатыми или трабекулярными костями. Пористый вид трабекулярной кости напоминает пористую двухфазную среду, где лучи (трабекулы) соответствуют твердой фазе, а мозговые полости - мягкой фазе. Таким образом, следуя терминологии пористых сред, трабекулы это структура, а мозговые полости - поры.

Качество костной ткани зависит от нескольких биологических, химических, микроструктурных и механических процессов, которые составляют прочность и хрупкость кости. В настоящее время нет ни инвазивного, ни неинвазивного проверенного способа, чтобы обеспечить полностью достоверный прогноз факторов риска in vivo (в организме). Были изучены несколько подходов, главным образом, основанных на данных, полученных ex vivo (т.е. вне

организма). С развитием таких технологий формирования изображений, как двухэнергетическая

рентгеновская абсорбциометрия (DXA), компьютерная томография (CT), компьютерная

микротомография (μCT), магнитно-резонансное сканирование (MRI), периферийная

количественная компьютерная томография высокого разрешения (HR-pQCT) и количественное ультразвуковое исследование (QUS), данные in vivo (полученные из тканей в естественной среде организма) становятся более и более доступными как инструмент сбора информации о структуре кости.

Чтобы попытаться лучше понять особенности костной ткани на микро- и макроуровне⁵ были разработаны несколько методов. На микроуровне, как показали недавние исследования, костные клетки, остеоциты, очень важны в управлении восстановлением костной ткани⁶ и регулировании клеточной активности остеокластов и остеобластов. На этом уровне начинается процесс восстановления, и понимание микроструктуры имеет основное значение для биологии и инженерии костной ткани⁷. С другой стороны, на макроуровне важную роль в восстановлении механической прочности костной ткани⁸ играют несколько морфологических и физических характеристик. Математическое и компьютерное моделирование губчатой структуры, а также экспериментальные механические тесты на растяжение-сжатие⁹ обеспечили хорошие результаты поддерживающей биомеханике и разработке устройств костного протезирования.

Для компьютерной визуализации на обоих масштабных уровнях используются не только числовые и имитационные модели, но, кроме того, много внимания было уделено созданию актуальных объемных физических копий, в точности повторяющих костный матрикс ^{10 11 12}, для реализации свойств и механических экспериментов^{13 14 15 16}, для регенерации ткани^{17 18} и в восстановительной хирургии для планирования и обучения ^{19 20 21 22 23}.

Стремительное развитие устройств медицинской визуализации и усовершенствование способов обработки изображений сделали возможными 3D реконструкцию и визуализацию. Тем не менее, во многих смыслах мы ограничены плоскими экранами при просмотре 3D объектов. Производство 3D копий костной и других тканей превращаются в реальность^{24 25} вместе с постоянно ускоряющейся разработкой дополнительных методов аддитивного производства (AM

- additive manufacturing) для 3D печати ²⁶.

Данная публикация не претендует на обзор, скорее ее цель - обозначить некоторые аспекты исследований костной ткани, которые используются и дают преимущество в 3D печати физических копий. Конечно, статья не завершена, и много соответствующих и интересных исследований не вошли в список ссылок, но приведенные здесь уже являются хорошей начальной точкой для наблюдения быстрой интеграции между биомедицинской инженерией костной ткани и технологией 3D печати.

Стереология

Стереология - это ряд математических и статистических методов, применяемых для описания геометрических характеристик и свойств 3D объектов, отличающихся от измерений,

полученных при 2D рассечении структуры объекта²⁷. Названия стереология происходит от греческого слова stereos, означающие тело. Одно из первых применений стереологии было в геологии в течение первой половины 19 столетия, но лишь совсем недавно, вначале 1960-х, она твердо утвердилась как новая дисциплина.

С тех пор стереология применяется во многих различных областях, но более плодородную почву для применения она нашла в биомедицинских науках. Один из способов исследования микроархитектуры костной ткани - определение некоторых гистоморфометрических (гистоморфометрия - оценка строения ткани - прим.ред.) показателей²⁸ при помощи методов стереологии. Несколько параметров вычисляются на основе измерений двумерного сечения, такие как трабекулярная толщина, трабекулярная плотность, трабекулярное разделение и трабекулярная скелетная длина. С другой стороны, другие показатели, такие как трабекулярная костная связь или кривизна²⁹, требуют анализа двух смежных срезов, чтобы иметь возможность определить геометрические и топологические изменения, которые могут встретиться в промежутках. В стереологии есть четыре основных типа зондов, которые используются для сбора структурных характеристик в срезах, а именно: точки - нульмерные зонды, линии - одномерные зонды, области - двумерные зонды и диссектор, трехмерный зонд, созданный при помощи двух тонких смежных срезов с малым расстоянием³⁰.

Диссектор

Поток информации в виде изображений, полученных, например, от кости, складывается в фиксированный последовательный набор из двумерных параллельных срезов с малым разделением между ними и каждая пара смежных изображений формирует зонд диссектора. Объем диссектора определяется площадью срезов (умноженной) на расстояние между ними.

Диссекторы изображений могут применяться при наблюдении очертаний одной доли и сравнении ее с очертаниями следующей доли. При помощи этих наблюдений возможно рассчитать, например, изменения кривизны, которые встречаются в трабекуле внутри диссектора.

Рисунок 1 Поперечные срезы и признаки, наблюдаемые внутри диссектора. Серая стрелка указывает островки (I), белая стрелка - отверстие (H) и черная стрелка - разветвление (B).

На рисунке 1 проиллюстрировано, как признаки, такие как островки (I), отверстия (H) и разветвления (B) могут быть подсчитаны в диссекторе. Серые стрелки показывают, что объект или появился или исчез в диссекторе, они считаются, как островки (I); белые стрелки показывают, что есть отверстия (H) внутри объекта в пределе диссектора, и наконец, черные стрелки указывают, что произошло разветвление (B) объекта в пределах диссектора.

Моделирование трабекулы

Золотой стандарт диагностики остеопороза - минеральная плотность костной ткани (BMD). Это измерение может указать, сколько массы кости было потеряно по сравнению с нормальным значением (T-шкала). Проще говоря, когда наблюдается потеря массы свыше 25% от нормальной массы, состояние пациента классифицируется как остеопороз. Когда это значение между 10- 25%, состояние пациента называют остеопенией. BMD - очень важный индикатор качества кости и отвечает за 70% изменений прочности кости. Однако недавние исследования показали, что только лишь BMD не в состоянии различить риск перелома между остеопорозными субъектами. Научные разработки показали, что губчатая микроструктура кости также очень важна для установления ее механической способности³¹ и качество ее микроархитектуры может влиять на предрасположенность костной ткани к хрупкости и последующего риска перелома. Рисунок 2 показывает три образца губчатой костной ткани дистального отдела лучевой кости, где трабекулярные структуры нормальные, остеопенические, остеопоротические, соответственно.

Рисунок 2 Трабекулярная структура: Нормальная (слева), Остеопеническая (в центре) и Остеопоротическая (справа).

В недавней статье³² для классификации хрупкости губчатой костной ткани был предложен параметр механической способности (MCP), основанный на четырех величинах, которые могут

быть вычислены из ряда изображений диссекторов. Это базовые величины для описания

реакции губчатой кости на нагрузку, а именно: трабекулярная доля объема кости, которая дает объемное содержание костного матрикса в образце; связность структуры; кривизна, которая оценивает степень извилистости трабекулярной сети и модуль Янга, который обеспечивает поведение линейной эластичности структуры под воздействием нагрузки.

Доля трабекулярного объема³³ расчитывается отношением BV/TV, где BV трабекулярный объем кости, полученный подсчетом вокселов, соответствующих трабекулам и TV - общий объем ткани в образце.

С помощью набора изображений диссекторов установлено, что число разрозненных частей трабекулы соответствует числу изолированных объектов #I (островков), связь выражается числом туннелей #B (ветвлений) и числом закрытых полостей #H ³⁴. Число соединений соответствует максимальному числу пересечений через объект, которые не создают два разъединенных объекта. Характеристика Эйлера-Пуанкаре (EPC) - это интегральное геометрическое измерение, которое может обеспечить оценку связи трабекулярной структуры ^{34 35}. Важный аспект EPC заключается в том, что он не изменяется от деформации или масштаба объекта. Другими словами, топологически неизменный. По существу, EPC для 3D структуры определяется как число изолированных частей без связи. EPC - величина нулевой размерности и как таковая, она должна быть оценена 3D зондом, уравнением EPC=Ѕ(#I+#H−#B). На рисунке 2 отчетливая потеря связи в образцах остеопении и остеопороза.

В простых математических терминах извилистость τ трабекулы определяется как τ = LG/LE, где LG - геодезическая длина между двумя соединенными точками в трабекулярной сети и LE - Евклидово расстояние между этими точками. Рассчитываем извилистость трабекулярной сети на основе 3D двухуровневого изображения с помощью алгоритма геодезической реконструкции³². В соответствии с наблюдаемыми результатами, исследования извилистости образцов губчатой кости показали, что трабекулярная сеть имеет тенденцию к выравниванию в направлении, в котором структура чаще подвергается нагрузке²⁹.

Чтобы получить модуль эластичности Янга для образцов, 3D структура губчатой кости была представлена в виде ячеек, при использовании оптимизированного алгоритма³⁶, выполненного в Matlab R2011a (MathWorks Inc., Natick, MA), который преобразовывает каждый элемент трёхмерного изображения в шестигранник (элемент-кирпичик). Тест зависимости деформации от напряжений при сжатии в каждом направлении был численно моделирован конечным элементом (FE) линейно-эластичного изотропного анализа, выполняемый в Ansys v11.0 (Ansys

Inc., Southpointe, PA). Характеристики основного объема материала были установлены Ebulk=10

GPa (компактная кость) ^{37 38} и коэффициент Пуассона ν=0.3.Деформация 1% граничной кромки была приложена ко всем моделям сжатия. После приложения теории гомогенизации³⁹, выражение результатов модуля Юнга (Ex,Ey,Ez) были получены в каждом направлении. Рисунок 3 иллюстрирует параметрические реконструкции узловых распределений напряжения, полученного по направлению оси z, тест на сжатие.

Рисунок 3 Карты параметрического напряжения - результаты смоделированных тестов сдавливания по оси z для нормального и остеопоротического образцов.

Данные для ряда изображенных образцов μCT губчатого вещества дистальной лучевой кости показали, что структура с низкой долей объема, со слабой связностью, высокой извилистостью и низким модулем Янга имеют нормализованный MCP очень близкий к нулю, другими словами, структура хрупкая, в то время как нормализованный MCP близкий к единице соответствует структурам с большей жесткостью (см. Рисунок 4). Результаты, предоставленные MCP, были получены просто вычислительными способами, однако, экспериментальные тесты оказали бы дополнительное содействие, чтобы лучше понять, как де-факто структура ведет себя в условиях механических нагрузок, моделировании возможных падений⁴⁰. Приблизительно 40% затрат на физиотерапевтическое лечение связано с остеопорозными переломами, связанными с лечением дистального отдела предплечья. Таким образом, довольно важно добиться лучших результатов, повышающих всеобщее понимание.

Рисунок 4 Цветной спектр нормализированных МСР для 15 образцов дистальной лучевой трабекулярной кости

Конечно, выполнить экспериментальные тесты с настоящими костями не простая задача, как и получение образцов кости или у трупов или у пациентов, которым провели биопсию кости. Рассмотренный случай не очень прост, поскольку есть несколько правил и этических протоколов, которым нужно следовать, чтобы получить разрешение на извлечение кости из трупа донора, и поздние инвазивные процедуры в организме, которые неудобны и дают лишь небольшие образцы кости. Чтобы обойти эти трудности были предложены несколько способов, чтобы имитировать механическое воздействие, большинство из них используют анализ конечного элемента ^{9 41} моделирование на основе 3D реконструкций изображения.

При разработке ткани, пористые клеточные каркасы должны быть разработаны с достаточной механической прочностью, чтобы сохранить их начальные структуры после имплантации, особенно, когда имеют дело с твердой, высоко нагруженной костной тканью, такой как бедренная кость. Механическая и биологическая устойчивость имплантов зависит от факторов, таких как прочность, эластичность, ударопоглощение в суставах и биохимический распад. В этом отношении, 3D печать костной ткани является очень полезным инструментом для производства высокоточных копий кости из образцов изображений, а затем эти копии могут быть подвергнуты тестам механической нагрузки и другим исследованиям ^{14 42 43}.

Аддитивное производство

Конструирование физических 3D объектов из ряда смежных 2D изображений срезов ограниченной толщины - это новая технология известна как аддитивное производство (AM - additive manufacturing)²⁶. В отличие от субтрактивных методов, которые строят законченный 3D объект, срезая материал с начального блока, машинам AM скармливают поперечные срезы таким образом, чтобы они могли складывать слой за слоем, составляя форму физического объекта. Действительно, более тонкие слои будут лучше приближены к настоящему объекту. Доступные сегодня машины AM используют послойный подход, однако они могут отличаться в зависимости от типа используемого материала, как слои формируются и склеиваются между собой.

В промышленности, для успешного продукта необходимо конструирование прототипов. Несмотря на то, что компьютерные системы CAD/CAM очень полезны для разработки и развития модели продукта, множество аспектов не осязаемы так, как в объемной модели объекта. С другой стороны, в потоке промышленной конкуренции за инновации, есть высокий спрос на быстрое макетирование моделей продукта. Поэтому, технологии быстрого макетирования возникли для обеспечения более быстрого пути для разработки продукта, путем интеграции четыре основных аспектов: ввод, метод, материал и приложения (как утверждается в книге⁴⁴).

Стереолитография и 3D печать

Стереолитография⁴⁵ - метод AM, который использует луч лазера, чтобы выборочно создавать соответствующее 2D изображение на светочувствительной смоле, делая ее твердой. Результат стереолитографии - это физическая 3D копия объекта, другими словами это понимается, как результат 3D печати, по примеру 2D печати. Фактически, стереолитография и 3D печать были первоначальными названиями, которые были даны американской компанией "3D Systems" и исследователями MIT, которые создали технологию струйной печати. Как и повсеместно известная технология тиражирования, идея печати объемного физического объекта получает общественное признание, и технология AM теперь становится более известной как 3D печать.