1.2. Определители и их свойства. Вычисление определителей

Понятие определителя вводится только для квадратных матриц.

Каждой квадратной матрице порядка ставится в соответствие по определенному закону некоторое число, называемое определителем (детерминантом) матрицы или просто определителем -го порядка.

Обозначения: , , .

Определитель матрицы 1-го порядка определяется как .

Пример 1. .

Определитель матрицы 2-го порядка вычисляется по формуле: .

Пример 2. .

Определитель матрицы 3-го порядка вычисляется по формуле:

Эта формула легко запомнить, если представить ее в виде схемы:

“+” “-”

Схема вычисления определителей третьего порядка называется правилом треугольников или правилом Саррюса.

Пример 3.

Пусть дан определитель -го порядка .

Минором элемента определителя n-го порядка называется определитель (n-1)-го порядка (“эн минус первого”), полученный из данного определителя вычеркиванием i-й строки и j-го столбца.

Пример 4. .

Алгебраическим дополнением элемента определителя n-го порядка называется его минор, взятый со знаком : = .

Пример 5. .

Теорема (Лапласа). Определитель матрицы n-го порядка равен сумме произведений элементов любой строки (столбца) на их алгебраические дополнения:

, - разложение определителя по строке;

, - разложение определителя по столбцу.

Пример 6. Вычислить определитель .

Решение. Вычислим данный определитель разложением по элементам первой строки:

.

Вычисления по теореме Лапласа становятся очень простыми, если в i-той строке или j-м столбце определителя все элементы кроме одного равны нулю.

В этом случае вычисление определителя n-го порядка сводится к вычислению 1-го определителя (n-1)-го порядка.

Преобразование определителей к нужному виду, а также их вычисление выполняется на основе свойств определителей.

Свойства определителей.

1. Определитель не меняется при транспонировании матрицы.

2. Если одна из строк (один из столбцов) определителя состоит из нулей, то определитель равен нулю.

3. Определитель, содержащий две одинаковые строки (столбца), равен нулю.

4. Определитель, содержащий две пропорциональные строки (столбца), равен нулю.

5. При перестановке двух строк (столбцов) определитель меняет знак на противоположный.

6. Общий множитель элементов любой строки (столбца) можно вынести за знак определителя.

7. Величина определителя не изменится, если к одной из его строк (столбцов) прибавить другую строку (столбец), умноженную на какое угодно число.

Пример 7. Вычислить определитель .

Решение.

Вычислим этот определитель, разложив его по элементам третьего столбца.

Для того чтобы упростить вычисления сделаем следующие преобразования: умножим третью строку на “-6” и прибавим ее ко второй строке ( ); умножим третью строку на “-4” и прибавим ее к первой строке ( ):

.

Разложим определитель по элементам третьего столбца:

.

Вычтем второй столбец из первого столбца ( ):

.

1.3. Обратная матрица

Квадратная матрица называется невырожденной, если её определитель отличен от нуля: .

Для квадратной невырожденной матрицы существует обратная матрица, которую обозначают .

Матрица называется обратной для матрицы , если выполняется соотношение (*), где единичная матрица одного порядка с матрицей .

Нахождение обратной матрицы с помощью присоединенной.

Обратная матрица может быть найдена по формуле , где матрица, составленная из алгебраических дополнений элементов матрицы и транспонированная. Матрица называется присоединенной для матрицы .

Пример 1. Найти матрицу обратную матрице .

Решение. Сначала проверяем, является ли матрица невырожденной: матрица невырожденная и для нее существует обратная.

Найдем алгебраические дополнения для всех элементов матрицы :

; ;

; ;

; ;

; ; .

Составим матрицу , учитывая, что она транспонированная: .

Получим обратную матрицу:

.

Проверка:

.

Элементарными преобразованиями строк (столбцов) матрицы являются следующие:

1) отбрасывание нулевой строки (столбца);

2) умножение всех элементов строки (столбца) матрицы на число, отличное от нуля;

3) перестановка строк (столбцов) матрицы;

4) прибавление к одной строке (столбцу) другой строки (столбца), умноженной на любое число.

Две матрицы и называются эквивалентными, если одна из них получается из другой с помощью элементарных преобразований. Записывается  .

Нахождение обратной матрицы с помощью элементарных преобразований.

Справа к данной невырожденной матрице приписать единичную матрицу того же порядка, что и матрица : .

Далее с помощью элементарных преобразований над строками объединенной матрицы привести матрицу к единичной матрице. Тогда на месте матрицы окажется обратная матрица , то есть будет получена матрица вида: .

Пример 2. Для матрицы из предыдущего примера найти обратную матрицу с помощью элементарных преобразований.

Решение. Так как обратная матрица существует.

Составим объединенную матрицу : .

Получим под главной диагональю нули: умножим все элементы первой строки на “-1” и прибавим их к соответствующим элементам третьей строки ( ):

Поменяем местами вторую и третью строки: .

Умножим вторую строку на “-2” и прибавим ее к третьей строке ( ):

.

Разделим третью строку на “-3” ( ): .

Под главной диагональю получили нули на главной диагонали единицы.

Теперь получим нули над главной диагональю: умножим третью строку на “-1” и прибавим ее ко второй строке ( ); умножим третью строку на “-2” и прибавим ее к первой строке ( ):

.

Прибавим вторую строку к первой строке ( ):

= .

Таким образом, получена матрица: .

Следовательно, обратная матрица: .

Полученную матрицу можно сравнить с матрицей из предыдущего примера рассчитанную другим способом (они совпадают).