Собственные векторы и собственные значения линейного оператора

Цель: научиться находить собственные векторы и собственные значения линейного оператора.

Литература

[1] / глава 3, § 3.7. [12] / тема 3.

[2] / глава 5, §§ 1-3. [15] / раздел II, §§2.29, 2.30.

[4] / раздел А, §§ 7.1 - 7.4. [16] / глава 3, §§ 3.6 -3.8.

[7] / раздел III, глава 2. [17] / глава V, § 2.

[8] / глава 5. [18] / глава V, § 4.

[9] / глава V, § 25. [19] / глава 3, § 3.4.

[10] / глава 4, § 4.1. [20] / глава 9, § 9.1.

Справочный материал

Собственные векторы и собственные значения

Пусть линейный оператор действует в линейном пространстве и имеет в некотором базисе этого пространства матрицу .

Определение1.Ненулевой вектор из называется собственным вектором линейного оператора , если существует число такое, что

. (1)

Число называется при этом собственным значением оператора .

Говорят также, что собственный вектор х отвечает (или соответствует) собственному значению .

Свойства собственных векторов и собственных значений линейного оператора

1. Если - различные собственные значения оператора , то отвечающие им собственные векторы линейно независимы.

2. Линейный оператор , действующий в линейном пространстве размерности , не может иметь более различных собственных значений.

3. Если линейный оператор , действующий в линейном пространстве размерности , имеет n различных собственных значений , ,..., , то отвечающие им собственные векторы , ,..., образуют базис пространства .

Характеристическое уравнение

Если , то равенство можно переписать в

матричной форме  или , где , , - единичная матрица n-го порядка.

Квадратная матрица -го порядка имеет определитель

= ,

который представляет собой многочлен степени относительно и называется характеристическим многочленом оператора .

Определение2.Уравнение вида

=O (2)

называется характеристическим уравнением оператора .

Теорема 1.

Для того чтобы число было собственным значением линейного оператора , необходимо и достаточно, чтобы оно было корнем характеристического уравнения (2) этого оператора.

Алгоритм отыскания собственных векторов и собственных значений оператора

1. Составить характеристическое уравнение (2) и найти все его действительные корни , которые и будут собственными значениями линейного оператора .

2. Для каждого собственного значения найти все ненулевые решения однородной системы уравнений

(3)

Каждое ненулевое решение этой системы является собственным вектором оператора , соответствующим собственному значению .

Замечание1.Собственное значение линейного оператора называется так же собственным значением матрицы , а ненулевое решение системы (3) (матрицы ) называется собственным вектором матрицы . Во многих разделах математики и ее экономических приложений рассматриваются именно собственные значения и собственные векторы матриц, вне их связи с линейными операторами.

В базисе из собственных векторов матрица оператора имеет диагональный вид

,

где - собственные значения оператора .