Задача 1

Необходимо получить прямую пропорциональную зависимость себестоимости единицы продукции (y – по вариантам) от объемов производства (х) с помощью метода наименьших квадратов. Рассчитать себестоимость единицы продукции при объеме производства, 500 ед. Определить тесноту связи данной зависимости.

х	420	432	435	440	450	492	494	438	490	496
y	10	11	12	13	14	15	16	17	19	20

Решение:

Для установления зависимости между затратами и объемом и определения суммы затрат используют методы математической статистики, в частности, метод наименьших квадратов.

Прямая пропорциональная зависимость выражается уравнением:

Y = ax + b,

Где y – себестоимость продукции, х – объем производства, а – постоянные затраты, b – переменные затраты.

Суть метода состоит в нахождении такого уравнения прямой, при которой сумма квадратов вертикальных отклонений будет наименьшей. Таким образом, метод наименьших квадратов заключается в нахождении решения системы из двух уравнений, позволяющих найти параметры а и b.

где — сумма наблюдений общих затрат;

b — удельные переменные затраты;

— сумма наблюдений величины продаж;

n — количество наблюдений;

— сумма произведений величины продаж и общих затрат.

∑y в нашем случае равна 10+11+12+13+14+15+16+17+19+20 = 147.

∑х в нашем случае равна 420 + 432 + 435 + 440 + 450 + 492 + 494 + 438 + 490 + 496 = 4 587.

∑х² = (420)² + (432)² + (435)² +(440)² +(450)² +(492)² +(494)² +(438)² +(490)² +(496)² = 2 112 409.

∑xy = 420*10 + 432*11+ 435*12 + 440*13 + 450*14 + 492*15 + 494*16 + 438*17 + 490*19 + 496*20 = 68 152.

В нашем случае система уравнений примет вид:

2  112 409а + 4 587b = 68 152

147-4 587a = 10b

2  112 409a + 4 587b = 68 152

b = (147 – 4 587a) / 10

b = (147 – 4 587a) / 10

2 112 409a + 4 587 (147-4 587a) / 10 = 68 152

b = (147 – 4 587a) / 10

2 112 409a + 67 428,9 – 2 104 056,9a = 68 152

b = (147 – 4 587a) / 10

8352,1a = 723,1

b = (147 – 4 587a) / 10

a = 0,08657

b = -25

a = 0,08657

Уравнение прямой пропорциональной зависимости себестоимости продукции от объемов производства примет вид:

y = 0,08657x – 25.

Теперь рассчитаем себестоимость единицы продукции при объеме производства 500 ед. Подставим в уравнение х = 500. Получим:

y = 0,08657*500 – 25

y = 43,285-25 = 18 ед.

Теперь определим тесноту связи данной зависимости.

Линейный коэффициент корреляции – это количественная оценка и мера тесноты связи двух переменных.

Коэффициент корреляции принимает значения в интервале от -1 до +1. Считается, что если этот коэффициент не больше 0,30, то связь слабая; от 0,3 до 0,7 – средняя; больше 0,7 – сильная, или тесная. Когда коэффициент равен 1, то связь функциональная, если он равен 0, то говорят об отсутствии линейной связи между признаками.

Коэффициент определяется по формуле:

r _xy = (∑xy – (∑x∑y)/n) / √ (∑x² – ((∑x)² / n)) (∑y² – ((∑y)² / n))

Получим:

r _xy = (68 152–((4 587*147)/10) / √ (2 112 409 –(4 587²/10)) (2 261– (147²/10)

r _xy = 723 / √8 352,1*100

r_xy = 0,79

Так как коэффициент больше 0,7, то можно считать, что связь между показателями тесная.