§ 12.3. Метод кореневих годографів [2]
Якість системи управління з точки зору швидкодії і запасу стійкості може характеризуватися розташуванням коренів чисельника і знаменника передавальної функції замкнутої системи, т. е. розташуванням нулів і полюсів передавальної функції (§ 8.5 ).
Знаючи ці корені, можна зобразити їх розташування на комплексній площині коренів. При розрахунку системи доцільно простежити, як змінюється загальна картина розташування коренів при зміні окремих параметрів, наприклад коефіцієнта передачі розімкнутої системи, постійних часу коригувальних ланцюгів і т. п., з метою встановлення оптимальних значень цих параметрів.
При плавній зміні значення будь-якого параметра корені будуть переміщатися на площині коренів, прокреслюючи деяку криву, яку будемо називати кореневим годографом або траєкторією коренів. Побудувавши траєкторії всіх коренів, можна вибрати таке значення зміни параметра, яке відповідає найкращому розташуванню коренів.
§12.4 Метод стандартних перехідних характеристик [2]
При побудові стандартних перехідних характеристик необхідно задатися певним розподілом коренів характеристичного рівняння.
Нижче наводяться стандартні характеристики і відповідні передавальні функції [44].
Для систем з астатизмом першого порядку корені прийняті дійсними, причому вони складають арифметичну прогресію. У табл. 12.1 наведені передавальні функції розімкнутої системи для різних порядків характеристичного рівняння n=2÷4, виходять при цьому значення перерегулювання % і добротності по швидкості KU.
Нормовані перехідні характеристики для кожного випадку наведені на рис. 12.1,а.
Для систем з астатизмом другого порядку корені також прийняті дійсними, причому вони складають геометричну прогресію. Відповідні передавальні функції наведено в табл. 12.2, а перехідні характеристики - на рис. 12.1, б.
Таблиця 12.1. Стандартні передавальні функції розімкнутої системи з астатизмом першого порядку при n=2÷4
n |
% |
KU. |
W(p) |
2 |
5 |
|
|
3 |
8 |
|
|
5 |
10 |
|
|
Таблиця 12.2. – Стандартні передаточні функції розімкнутої системи з астатизмом другого порядку при n = 2÷6
n |
|
|
W(p) |
2 |
10 |
|
|
3 |
10 |
|
|
4 |
10 |
|
|
5 |
10 |
|
|
6 |
10 |
|
|
%
Недоліком розглянутого методу є те, що при побудові стандартних перехідних процесів прийняті дійсні корені. Це в багатьох випадках не призводить до оптимального рішення. Однак стандартні перехідні характеристики можна порівняно просто побудувати для будь-якого іншого розташування коренів, в тому числі і для комплексних коренів. Пропонується, наприклад, таке рішення [44].
В табл. 12.3 для випадку ζ=0,75 приведені значення безрозмірних коефіцієнтів A1,…,An-1 причому A0=1 і An=1, для степені характеристичного рівняння від 2 до 6.
На рис.
12.1,
в приведені
нормовані перехідні характеристики,
що відповідають характеристичному
рівнянню (12.32), якщо в нього ввести праву
частину у вигляді
Таблиця 12.3. Коефіцієнти характеристичного рівняння для кратних коренів
n |
A1 |
A2 |
A3 |
A4 |
A5 |
2 |
1,5 |
|
|
|
|
3 |
2,5 |
2,5 |
|
|
|
4 |
3 |
4,25 |
3 |
|
|
5 |
4 |
7,25 |
7,25 |
4 |
|
6 |
4,5 |
9,25 |
12,375 |
9,25 |
4,5 |
Таблиця 12.4. Коефіцієнти характеристичного рівняння (оптимальний випадок)
n |
/ |
A1 |
A2 |
A3 |
A4 |
A5 |
A6 |
A7 |
2 |
1 |
1,38 |
|
|
|
|
|
|
3 |
1,45 |
2,05 |
2,39 |
|
|
|
|
|
4 |
0,79 |
2,6 |
3,8 |
2,8 |
|
|
|
|
5 |
1,5 |
2,5 |
5,3 |
5,46 |
3,64 |
|
|
|
6 |
0,64 |
3,73 |
8,0 |
10,3 |
8,56 |
4,18 |
|
|
7 |
1,5 |
2,76 |
8,12 |
11,74 |
14,35 |
11,5 |
4,86 |
|
8 |
0,57 |
4,65 |
9,42 |
22,7 |
28,4 |
24,3 |
15,0 |
5,45 |
Перехідний процес загасає ще швидше, якщо взяти некратний розподіл комплексних коренів [44]. У цьому випадку всі корені мають однакову дійсну частину . Уявні частини коренів утворюють арифметичну прогресію з різницею γ і першим членом також γ. Для кожного ступеня характеристичного рівняння існує деяке оптимальне відношення γ/, якому відповідає найбільша швидкодія в безрозмірному часу. Безрозмірні коефіцієнти характеристичного рівняння для цього випадку наведено в табл. 12.4, а перехідні характеристики зображені на рис. 12.1, г.
При наявності нулів у передавальної функції прийняті в табл. 12.3 та 12.4 розподілу коренів виявляються невдалими внаслідок появи великого перерегулювання. У цьому випадку виявляється більш вигідним використання розташування коренів на дійсній осі по арифметичній прогресії (див. табл. 12.1 і 12.2 ).