2.3.6. Производная степенно-показательной функции

Функция вида называется степенно-показательной. Производная от этой функции в общем виде имеет вид

,

т.е. производная степенно-показательной функции равна сумме производных этой функции как от степенной, а затем как от показательной, в предположении, что другая функция является константой.

Однако для нахождения производных степенно-показательной функции можно применить прием логарифмического дифференцирования, который позволяет легко и быстро найти производную.

2.3.7. Производные высшего порядка

Пусть y = f(x) является дифференцируемой функцией. Тогда производная также представляет собой функцию от x. Если она является дифференцируемой функцией, то мы можем найти вторую производную функции f, которая обозначается в виде

Аналогично, если f '' существует и дифференцируема, мы можем вычислить третью производную функции f:

Производные более высокого порядка (если они существуют), определяются как

Примеры.

а) Найти производную сложной функции .

Решение.

Здесь мы имеем дело с композицией трех функций, из которых внешней является тангенс. Производная тангенса равна

Тогда

б) Продифференцировать функцию

Решение.

Сначала найдем производную произведения:

Далее, по формуле производной сложной функции

в) Определить производную функции .

Решение.

Применим формулы производной сложной функции и производной частного.

г) Найти y'', если .

Решение.

Возьмем первую производную дифференцируя функцию как произведение.

Теперь найдем производную второго порядка

д) Вычислить производную степенно-показательной функции

Решение.

Прологарифмируем заданную функцию:

_{Вычислим производную, воспользовавшись формулой производной произведения и производной сложной функции:}

Выразим производную заданной функции:

.

е) Вычислить производную функции с помощью логарифмического дифференцирования

.

Решение.

Прологарифмируем функцию:

Преобразуем выражение с помощью свойств логарифмов:

;

Продифференцируем полученное равенство

.

Выразим производную заданной функции:

.

Задание 2 для практической работы №2

Вычислите производные заданных функций:

Вариант	Задание
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30

_{Полякова И.А. Лекции по математике. Технический профиль. 2 курс.}