8.3.2. Плоское течение Пуазейля

Рассмотрим бесконечные параллельные неподвижные плоскости, расстояние между которыми равно h. Пусть между плоскостями изотермически движется вязкая несжимаемая жидкость под действием постоянного градиента давления, направленного вдоль оси x (рис.8.4).

Снова будем предполагать, что если ускорение силы тяжести направлено вдоль оси y, то сила тяжести не должна влиять на движение жидкости в зазоре между плоскостями из-за малости зазора..

Пусть градиент давления создан некоторым внешним источником (насос, компрессор). Будем полагать, что движение плоское, стационарное. Снова используя гипотезу 2, будем полагать, что скорость частиц

Рис. 8.4

жидкости в зазоре направлена

только вдоль оси x и зависит только от y. Таким образом, необходимо решить уравнение Навье-Стокса при тех же условиях (8.3.1), что и в задаче Куэтта. Рассматривая систему уравнений (8.3.2) при сделанных предложениях, получим такие же уравнения:

. (8.3.10)

Уравнение неразрывности удовлетворяется тождественно.

Из второго и третьего уравнений следует, что давление не зависит ни от y, ни от z, а может быть функцией только x.

Из последнего соотношения следует, что давление P есть линейна функция x, а скорость определяется следующей формулой:

.

Постоянные a и b могут быть определены из граничных условий:

.

Таким образом, зависимость скорости можно записать в следующем виде:

. (8.3.11)

Согласно (8.3.11) эпюра скоростей (рис.8.4) представляется параболой.

Из формулы (8.3.11) легко получить среднюю и максимальную скорости течения жидкости в зазоре:

,

. (8.3.12)

Знак скорости определяется знаком градиента давления. Если давление уменьшается вдоль оси x, то , а , т. е. скорость направлена в сторону уменьшения давления.

Найдем силу, действующую на единицу площади верхней и нижней поверхности в направлении оси x.

,

.

Дифференцируя уравнение (8.3.11), получим:

. (8.3.13)

Как и в задаче Куэтта, сила, действующая на единичную площадкуна верхней и нижней поверхности, равна – Р и + Р, соответственно.

Объемный и массовый расходы жидкости через любое сечение, перпендикулярное оси x (единичной ширины), равны соответственно:

. (8.3.14)

8.3.4. Цилиндрическое течение Пуазейля

Рассмотрим установившееся изотермическое движение вязкой несжимаемой жидкости в круглой цилиндрической неограниченно длинной трубе, вызываемое постоянным градиентом давления, который направлен вдоль оси трубы. Для решения естественно воспользоваться цилиндрической системой координат. Уравнение Навье-Стокса, уравнение непрерывности для несжимаемой жидкости, а также компоненты тензора напряжений в цилиндрической системе координат имеют вид:

,

, (8.3.15)

,

,

Снова будем полагать, что если труба расположена горизонтально, то сила тяжести не влияет на движение жидкости в трубе. Естественно направить ось z вдоль оси трубы. Будем также полагать, используя гипотезу 2, что скорости частиц жидкости в трубе имеют единственную компоненту, направленную вдоль оси трубы и зависящую только от радиуса r. Следовательно, необходимо решить уравнение Навье-Стокса при следующих условиях:

(8.3.16)

При условиях (8.3.16) из уравнений (8.3.15) получим:

. (8.3.17)

Из первого и второго уравнения системы (8.3.17) следует, что при заданной топологии течения давление не должно зависеть ни от r, ни от , а может быть функцией только z. Поскольку зависит только от r, то имеем:

.

После интегрирования получаем:

.

Поскольку на оси трубы не может быть бесконечной скорости, то постоянную a следует положить равной нулю. Постоянную b найдем из граничных условий:

.

Подставляя b в выражение для скорости, имеем:

. (8.3.18)

Теперь нетрудно вычислить максимальную и среднюю скорости движения жидкости по трубе.

,

.

Направления скоростей определяются направлением градиента давления.

Для объемного и массового расхода жидкости через любое сечение трубы имеем формулу Пуазейля:

. (8.3.19)

Найдем силу, действующую на единицу площади поверхности трубы в направлении оси z.

.

Используя формулы (8.3.15), имеем:

.

Вычислим силу, действующую на кольцевой элемент трубы диной z в направлении оси z. Согласно определения силы сопротивления имеем:

.

Из последнего соотношения видно, что разность сил давлений Р₁ и Р₂, действующих на жидкость в двух любых сечениях трубы S₁ и S₂, разделенных расстоянием , уравновешивается вязкой силой, действующей на боковую поверхность рассматриваемого элемента участка трубы. Очевидно, это следует из закона Ньютона, т. к. лишь при равенстве сил рассматриваемый элемент объема жидкости будет находиться в состоянии покоя или равномерного прямолинейного движения.