3. Модели Форрестера

В июне 1970 г. на заседании в Берне Римский клуб предложил профессору МТИ, руководителю группы системной динамики Дж. Форрестеру разработать модель глобального развития. Уже через 4 недели тот представил примитивную модель, грубо имитирующую основные процессы мировой системы. Эта модель получила название "Мир-1". Последующая доработка и отладка привела к появлению так называемой модели "Мир-2". Именно ее мы и рассмотрим подробнее. Описание самой модели, анализ полученных результатов и выводы были опубликованы в книге "Мировая динамика" увидевшей свет в 1971 г. Кратко изложим саму модель.

Модель Форрестера построена на основании принципов системной динамики - метода изучения сложных систем с нелинейными обратными связями, который до этого сам Форрестер со своими сотрудниками разрабатывал с конца 50-х годов. Аналитические основы построения модели, предназначенной для имитации мировых процессов, были рассмотрены в его предыдущих работах, посвященных изучению промышленных и урбанизированных систем. Качественный скачок заключался лишь в том, чтобы перейти от подобных микросистем к глобальной макросистеме.

Метод системной динамики предполагает, что для основных фазовых переменных (так называемых системных уровней) пишутся дифференциальные уравнения одного и того же типа:

,

где y+ - положительный темп скорости переменной y, включающий в себя все факторы, вызывающие рост переменной y; y-- отрицательный темп скорости, включающий в себя все факторы, вызывающие убывание переменной y.

Предполагается, что эти темпы расщепляются на произведение функций, зависящих только от "факторов" - комбинаций основных переменных, т.е., в свою очередь, самих являющихся функциями системных уровней: y± = g(y1, y2,…, yn) = f(F1, F2,…, Fk) = f1(F1) f2(F2) … fk(Fk), где - факторы, причем m = m(j) < n, k = k(j) < n (число уровней). Т.е. факторов меньше, чем основных переменных, и каждый фактор зависит не от всех системных уровней, а только от какой-то их части. Это позволяет упростить задачу моделирования.

Непосредственно моделирование мировой динамики проводилось Форрестером поэтапно. Основные этапы таковы.

. Концептуализация - выделение главного. На этом этапе выделялись наиболее существенные, на взгляд Форрестера, мировые процессы, такие как: 1) быстрый рост населения; 2) индустриализация и связанный с ней промышленный рост; 3) нехватка пищи; 4) рост отходов производства; 5) нехватка ресурсов.

Отсюда основные переменные (системные уровни):

 население P;

 основные фонды K;

 доля фондов в сельском хозяйстве (т.е. в отрасли обеспечения пищей) X;

 уровень загрязнения (или просто загрязнение) Z;

 количество невозобновляемых (невосстановимых) природных ресурсов R.

 А также факторы, через которые и осуществляется взаимовлияние переменных при построении дифференциальных уравнений:

 относительная численность населения PP (население, нормированное на его численность в 1970 году);

 удельный капитал KP;

 материальный уровень жизни C;

 относительный уровень питания (количество пищи на человека) F;

 нормированная величина удельного капитала в сельском хозяйстве XP;

 относительное загрязнение ZS;

 доля остающихся ресурсов RR.

Помимо перечисленных переменных, Форрестер ввел еще понятие о "качестве жизни" Q. Этот фактор является своего рода мерой функционирования исследуемой системы, т.е. носит характер индикатора. Зависит этот индикатор от четырех факторов PP, C, F, ZS: Q = QC QF QP QZ. В целом он не играет существенной роли в модели, поэтому, в дальнейшем не рассматривается.

Скажем несколько слов по поводу единиц измерения основных переменных. Население естественно оценивать числом людей, доля фондов в сельском хозяйстве - безразмерная величина между 0 и 1. Выбор единиц для фондов, загрязнения и ресурсов осуществлялся привязкой к базовому году. Единицей капитала считается условная величина - капитал, приходящийся на душу населения в 1970 г.; единицей ресурсов считается их годовое потребление в 1970 г.; за единицу загрязнения принимается условная величина - загрязнение, приходящееся на одного человека в 1970 году.

. Составление уравнений. Для системных уровней пишется система дифференциальных уравнений, которая в упрощенном виде записывается так:

, (1)

, (2)

, (3)

, (4)

, (5)

где B = B(C, F, PP, ZS) = cB·BC(C)·BF(F)·BP(PP)·BZ(ZS) - темп рождаемости, D = D(C, F, PP, ZS) = cD·DC(C)·DF(F)·DP(PP)·DZ(ZS) - темп смертности, K+ = K+(P, C) = P·KC(C) - скорость производства основных фондов, X+ = X+(F, Q) = XF(F)·XQ(Q) / TX - прирост доли сельскохозяйственных фондов, Z+ = Z+(P, KP) = P·ZK(KP) - скорость генерации загрязнения, TZ = TZ(ZS) - характерное время естественного разложения загрязнения, R- = R-(P, C) = P·RC(C) - скорость потребления ресурсов.

Уравнения для вспомогательных переменных:

- относительная плотность населения

- удельный капитал

- относительное загрязнение

- доля оставшихся ресурсов

- относительная величина сельскохозяйственных фондов

- относительное качество жизни

- уровень питания

- материальный уровень жизни

Все обозначенные выше буквы с подстрочными символами (BC, BF, KC и т.д.) суть таблицы с линейной интерполяцией (так называемые множители). Эти таблицы строились (задавались) либо экспертами в данной области, либо - если экспертов не было - самим Форрестером (в качестве примеров см. рис. 1 и 2).

Рис. 1. Множитель BC(C) Рис. 2. Множитель ER(R)

Константы:= 0,04 - нормальный темп рождаемости, = 0,028 - нормальный темп смертности, = 0,05 - нормальный темп фондообразования, = 40 лет - постоянная износа основных фондов, = 15 лет - время выбытия доли сельскохозяйственных фондов, = 1970 - базовый год, = 3,6·109 - численность населения в 1970 г.,= 0,3 - нормальная часть фондов в сельском хозяйстве, = 3,6·109 - стандартное загрязнение, численно совпадающее с PN.

Начальные данные: t0 = 1900, P0 = 1,65·109, K0 = 0,4·109, X0 = 0,2, Z0 = 0,2·109, R0 =9·1011 (значение было взято, исходя из предположения, что ресурсов при скорости их потребления как в 1970 г. должно хватить на 250 лет). Расчеты по своей модели Форрестер проводил для временного интервала с 1900 по 2100 г.г. С 1900 г. по 1970 г. - главным образом, для того, чтобы "отладить" (настроить) параметры модели на известных данных, а с 1970 г. - уже как чисто прогнозные. Иными словами, параметры модели (в частности, cB, cD, cK ), начальные данные и отчасти табличные функции подбирались, чтобы динамика системы совпала по возможности с реальной мировой динамикой на интервале от 1900 до 1970 г.г., а дальше система пускалась, так сказать, "в свободное плавание". В результате этого расчета получилась картина развития, представленная на рис. 3.

а) б)

Рис. 3. Модель Форрестера в первоначальном виде: кризис ввиду истощения ресурсов. Сначала падает материальный уровень жизни, потом численность населения и капитал. Кризис наступает примерно к 2020-30 г.г. Все величины представлены в условных единицах (т.е. реально показаны не P, K, Z, R а PP,K/PN, ZS, RR соответственно). На рисунке б) графики представлены в двух масштабах: один показан на левой оси ординат, второй - на правой оси. Т.е., такие переменные, как уровень питания F, уровень жизни C и количество ресурсов R меняются от 0 до 1.2, а доля фондов в сельском хозяйстве - от 0 до 0.45.

Видно, что после периода монотонного роста численность населения с 2025 г. начинает уменьшаться, причем за 75 лет сокращается в полтора раза, т.е. почти на 2 млрд. человек. Невозобновляемых природных ресурсов к 2100 году остается меньше ⅓ начальных запасов (т.е. R0), уровень загрязнения к 2050 г. в несколько раз превышает стандартный уровень ZN, а затем начинает падать, что является следствием общего упадка промышленности и сокращения численности населения. Материальный уровень жизни (или просто уровень жизни) достигает максимума примерно в 2000 г., а затем падает. Относительный уровень питания после 1970 г. незначительно уменьшается примерно до 2015 г., затем вырастает из-за того, что падает население, хотя в целом ведет себя весьма стабильно - это связано главным образом с заложенным в модель механизмом распределения инвестиций по отраслям. Как только сокращаются ресурсы, резко падает численность населения и промышленное производство.

Заметим, что о технологиях и их развитии Форрестер ничего не говорит и в свою модель явным образом не вводит, пожалуй, это одно из основных упущений его работы. Здесь позиция исследователя такова: зафиксируем наши возможности (технологический уровень) на данном этапе и экстраполируем современные тенденции в части потребления ресурсов, роста загрязнения, выбытия плодородных земель, демографической динамики. Понятно, к чему такое приведет. С другой стороны, тем самым Форрестер показал необходимость развития нужных технологий, решающих тот круг задач, который рассматривается в модели.

Форрестер пробовал изменять по очереди параметры модели в разумных пределах (такие, как запасы ресурсов, их потребление на душу населения, продуктивность сельского хозяйства и т.п.); в результате несколько менялись величина и время наступления спада, но общая картина упадка (типа представленной на рис. 3) сохранилась.

а) б)

Рис. 4. Результаты модели Форрестера в предположении о снижении в 1970 году скорости потребления ресурсов в 4 раза, что могло быть вызвано, к примеру, экономией. Это вызывает кризис загрязнений. Население резко уменьшается в несколько раз, также быстро падают фонды, рост уровня питания и уровня жизни просто означает, что оставшийся капитал используется остальной частью населения (такое может быть справедливо в предположении, что все "вредные" производства находятся в густонаселенных отсталых странах, а население, активно использующее капитал, проживает в других странах).

В частности, на рис. 4 приведен расчет в случае, когда в 1970 г. происходит уменьшение скорости потребления ресурсов в 4 раза, т.е. в соответствующем уравнении (5) в правой части появляется коэффициент 0,25. Иначе говоря, предполагается, что технологии обеспечивают тот же уровень жизни при меньшем истощении расходуемых невосполнимых ресурсов. Такое предположение приводит к кризису, связанного с загрязнением. Из-за того, что потребление ресурсов сократилось, их количество довольно велико для того, чтобы успели сильно вырасти численность населения, материальный уровень жизни и фонды, что приводит к резкому росту загрязнения. Максимум загрязнения к 2060 г. в 40 с лишним раз превышает стандартный уровень. Население достигает своей максимальной численности в 2030 г., а затем в течение 20-летнего периода резко падает до шестой части этого наибольшего значения.

Необходимо сказать, что в задачу Дж. Форрестера при построении модели не входило точное предсказание количественных характеристик мировой системы, но скорее выявление общих качественных тенденций динамики основных переменных, анализ чувствительности результатов по отношению к различным заложенным в модель предположениям (сам Форрестер изначально считал "Мир-2" просто рабочей моделью, помогающей лучше освоить предмет системной динамики). Для достижения этой цели существенным является не столько точное количественное определение всех параметров модели, сколько правильный учет причинно-следственных связей системы.

Следует обратить внимание на то, что численные результаты модели по населению вступают в противоречие с реальными данными о том, как на самом деле росло население Земли за последние 30 лет. Так, например, в 2000 г. реальная численность населения была чуть больше 6 млрд. чел., в то время как модель "Мир-2" предсказывала 5 млрд. (см. рис. 3). Это дает повод усомниться в численном, количественном соответствии модели и реальности, но такая цель и не преследовалась автором модели. Здесь куда важнее качественная сторона результатов, т.е. вид динамики переменных, поскольку не вполне ясно в какой мере будут соотноситься модель и реальность в будущем. Может оказаться, кроме того, что реальная динамика более сжата или, наоборот, растянута по времени, т.е. условные годы - временные шаги модели - могут соответствовать месяцам или, наоборот, десятилетиям в реальности. Для целей глобальной модели и то, и другое не столь существенно по сравнению с поведением переменных системы. И если удается это поведение хоть как-то предсказать, можно считать, что модель строилась не зря. С этой точки зрения вопрос о справедливости прогноза мировой динамики, данный в модели, до сих пор остается открытым (еще не прошли сроки, позволяющие судить, оправдался ли сделанный прогноз).

Результаты (в трактовке самого Форрестера и следующих за ним исследователей) показали неизбежность кризиса, связанного с истощением ресурсов и ростом загрязнения (рис. 3, 4), если сохранятся современные тенденции и не будет предпринято никаких мер для обеспечения бескризисного развития.

Единственный способ избежать кризиса, связанного, как считал Форрестер, с экспоненциальным ростом, - переход к глобальному равновесию, когда переменные системы выходят на стационарные значения и не меняются. Подчеркнем, кризиса в рамках данной модели, а не в реальности. Соответствие модели действительности - отдельная проблема, которая здесь в полном объеме не рассматривается. Не касаясь вопроса, насколько вообще реальна концепция "нулевого роста", приписываемая Форрестеру (а потом и всему Римскому клубу), обратим внимание лишь на то, что осуществить такую стабилизацию в рамках модели невозможно, поскольку ресурсы могут только убывать и, следовательно, не могут стабилизироваться. Сам Форрестер это прекрасно понимал и в своей книге писал, что без регенерации отходов и применения заменителей истощение природных ресурсов рано или поздно вызовет кризис в моделируемой системе [3].

Тем не менее, для остальных переменных можно добиться выхода на стационар в течение рассматриваемого Форрестером промежутка времени (с 1970 по 2100 г.г., после чего снова начинается деградация системы), что он и продемонстрировал (см. рис. 5), видоизменив модель и введя следующие ограничения (начиная с 1970 г.):

 темп потребления ресурсов уменьшен вчетверо по сравнению с 1970г.

 генерация загрязнения уменьшена вдвое

 фондообразование уменьшена на 40

 производство продуктов питания уменьшено на 20

 темп рождаемости уменьшен на 30