1.2 Нахождение комплексного потенциала

В силу симметрии задачи относительно оси будет рассматриваться только верхний полукруг. Последовательно отображается область на верхнюю полуплоскость, как показано на рис.3 – 5.

Рис. 3 Отображение верхнего полукруга на полуполосу

Рис. 4 Отображение области на

Рис. 5 Верхняя полуплоскость

Отображение происходит с помощью следующих выражений:

1) ;

2) ;

3) ;

4) ).

В итоге получаем зависимость :

(1)

Аналогично отображается область на верхнюю полуплоскость (рис. 6 – 7).

Рис. 6 Отображение области на

Рис. 7 Отображение области на

Отображения последовательно выполняются следующим образом

1)

2)

3)

Окончательно имеем зависимость :

(2)

Область переходит в область с помощью дробно – линейного преобразования (рис.8).

(3)

Рис. 8 Сопоставление области и

С помощью формул (1), (2), (3) получаем комплексный потенциал

. (4)

1.3 Вычисление дебита скважины

Рассмотрим комплексный потенциал

.

Уравнение определяет семейство эквипотенциалей, совпадающих с изобарами [2,3]:

, (5)

где – коэффициент проницаемости пласта, – динамический коэффициент вязкости насыщающей пласт жидкости, – давление в жидкости.

Рассмотрим комплексный потенциал (4) на расстоянии радиуса скважины от начала координат. Выделим реальную часть в комплексном потенциале (4):

.

В этом выражении величины , , считаются известными, а величина неизвестна. Приравнивая между собой правые части (4), (5), можно найти неявную зависимость параметра комплексного отображения от постоянных величин , , , , , :

.

Мнимая часть комплексного потенциала представляет собой семейство линии тока. Дебит вычисляется как разность крайних значений функции тока, умноженная на мощность пласта (точки и изображены на рис. 9):

Рис. 9 Схема кругового пласта

2. Результаты

В задачнике [1] приводится задача со следующими данными:радиус скважины =10 см; радиус пласта =350 м; коэффициент проницаемости =0.8 Д; динамический коэффициент вязкости =5 сП; давление на контуре питания =27.9 МПа; давление на забое скважины =7.84 МПа; центральный угол =120 ; мощность пласта =12 м.

Найдем величину и дебит скважины (вычисления проводились с использованием математического пакета Wolfram Mathematica 8).

В данном случае .

Дебит при вышеперечисленных данных равен . Если же решать задачу предложенным в задачнике [1] методом осреднения контурного давления по всей длине окружности пласта и сведением ее к плоскорадиальной, то получим . Ответы значительно отличаются друг от друга. Это означает, что решение, приведенное в задачнике, не применимо к данной задаче.

3. Исследование дебита при разных углах

Рассмотрим дебит при различных углах раскрытия проницаемого контура пласта (рис.10), полученный описанным методом с применением теории комплексного потенциала.

Рис. 10 Зависимость дебита скважины от угла

По графику видно, что с увеличением угла раствора увеличивается и дебит скважины , при этом зависимость имеет нелинейный характер, стремясь к дебиту скважины в круговом пласте с полностью проницаемым контуром.

В случае, когда угол , движение будет плоскорадиальным. При плоскорадиальном движении векторы скорости фильтрации направлены по радиусам к оси скважины. Если на внешней границе пласта, совпадающей с контуром питания, поддерживается постоянное давление , а на забое скважины постоянное давление , пласт однороден по пористости и проницаемости, фильтрация происходит по закону Дарси, то объемный дебит скважины определится по формуле Дюпюи:

Дебит, рассчитанный по данной формуле, равен = и в точности совпадает с дебитом, вычисленным с помощью комплексного потенциала.