Методические указания и порядок расчета задания
Цель задания – закрепить знания студентов по курсу "Техническая термодинамика" (разделы: первый и второй законы термодинамики, процессы, циклы, v–p и s–Т диаграммы).
Задание состоит из аналитического решения цикла и выполнения графических построений цикла в системах координат: lg v–lg p, v–p и s–Т.
Перед выполнением задания следует внимательно прочитать условие и уяснить себе весь объем работы.
При расчетах считать воздух идеальным газом, а его теплофизические свойства не зависящими от температуры.
Принять газовую постоянную равной 287 Дж/(кг К), теплоемкость при постоянном давлении равной 1025 Дж/(кг К), что соответствует свойствам сухого воздуха при температуре 473 К.
Данные к заданию взять из приложения, в котором они представлены в форме циклов, изображенных в координатах p – v, без учета масштаба.
Результаты расчета представить в виде таблиц 1, 2, 3.
Порядок решения:
1. Используя уравнения процессов, уравнение состояния и известные по условиям задачи значения параметров состояния, определить значения всех параметров состояния (p, v, Т) для основных точек цикла (привести рисунок цикла) и внести их в таблицу 1.
2. Для каждого процесса, входящего в состав цикла, определить:
– показатель политропы может быть определен по формулам:
n = (с – cp)/(с – сv),
n = (lg pi+1/pi)/(lg vi/vi+1),
– теплоемкости процессов, если их рассматривать как частные случаи политропного процесса, определяют по формуле:
c = cv(n – k)/(n – 1),
– изменение внутренней энергии и энтальпии идеального газа определить по формулам:
Du = cv DТ = cv (Ti+1 – Ti) [Дж/кг]
Dh = cp DТ = cp (Ti+1 – Ti) [Дж/кг]
– изменение энтропии в рассматриваемом процессе определить по одной из следующих формул:
Ds = cv ln (Тi+1/Тi) + R ln (vi+1/vi) [Дж/кг K]
Ds = cp ln (vi+1/vi) + cv ln (pi+1/pi) [Дж/кг K]
Ds = cp ln (Тi+1/Тi) – R ln (pi+1/pi) [Дж/кг K]
– теплоту процессов можно определить по формуле:
q = c DТ = c (Ti+1 – Ti) [Дж/кг]
– где c – теплоемкость газа в рассматриваемом процессе,
– работу процессов и располагаемую работу процессов определить из уравнений первого закона термодинамики:
l = q – Du [Дж/кг]
l0 = q – Dh [Дж/кг]
Все величины, найденные в данном пункте, внести в таблицу 2 с указанием знаков, полученных в расчете.
В таблицу 2 необходимо включить итоговую строчку по вертикальным графам, содержащим величины: Du, Dh, Ds, q, l, l0.
Для величин Du, Dh и Ds суммы должны быть равны нулю, так как u, h и s - функции состояния и, следовательно, за цикл их изменение равно нулю. Суммы q, l и l0 должны быть равны между собой и быть положительными (цикл прямой):
åq = ål = ål0 [Дж/кг]
Графы, содержащие показатели процессов и теплоемкости суммированию не подлежат.
3. Определить суммарное количество:
– подведенной теплоты
q' = åqi положительных Дж/кг]
– отведенной теплоты
q" = åqi отрицательных [Дж/кг]
– количество теплоты, полученное системой за цикл:
qц = åqi [Дж/кг]
– определить работу цикла
lц = åli [Дж/кг]
– определить располагаемую работу цикла
l0ц = ål0i [Дж/кг]
– определить термический к. п. д. цикла
ht = lц/q' = qц/ q' = (q' – |q"|)/q'
Полученные данные внести в таблицу №3.
4. Построение цикла. Рассматриваемый цикл должен быть построен в масштабе в системе координат: lg v–lg p, v–p и s–Т.
а) Вначале цикл строится в системе координат lg v–lg p, при этом рекомендуется построение производить на логарифмической бумаге (в логарифмических координатах). При отсутствии ее построение выполняется на миллиметровой бумаге. Масштабы по обеим осям следует принимать одинаковыми, в противном случае по построенной диаграмме невозможно определить показатели процессов. После произведенного построения следует определить по тангенсу угла, составленного линией процесса и отрицательным направлением оси абсцисс, показатели для всех процессов, входящих в цикл и убедиться в их правильности. Проследить, чтобы одноименные процессы в координатах lg v–lg p изображались параллельными линиями. Если этого нет, необходимо проверить правильность определения параметров основных точек цикла.
б) Диаграмма цикла в координатах v–p для процессов, изображаемых кривыми линиями, строится по диаграмме lg v–lg p, из которой берутся значения p и v для двух–трех промежуточных точек для каждого процесса. Значения промежуточных точек сводятся в таблицу. Диаграмму рекомендуется строить на листе миллиметровой бумаги, в таком масштабе, чтобы цикл на диаграмме получился размером порядка 100 х 100 мм.
в) Для построения диаграммы цикла в координатах s–Т используются параметры, подсчитанные в пунктах 1 (Т) и 2 (Ds), кривые процессов можно заменить прямыми линиями. На диаграмме должен быть показан порядок построения.
Задается масштаб температуры mT и масштаб энтропии ms, на оси температур (ординат) наносится шкала, на оси энтропий (абсцисс) шкала не наносится. Начало построения на оси энтропий выбирается произвольно: если Ds > 0 (см. табл. 2), то начало построения можно сместить к оси ординат, т.к. процесс пойдет вправо; если Ds < 0 (см. табл. 2), то начало построения следует сместить вправо, т.к. процесс пойдет влево.
– таким образом, выбрав произвольно начало построения цикла, восстанавливаем перпендикуляр к оси энтропий и проводим его до пересечения с температурой вначале цикла (процесса) Т1 – это будет точка 1 – точка начала цикла и процесса 1– 2.
– откладываем от проекции точки 1 на оси энтропий значение изменения энтропии Ds в процессе 1 – 2 (см. табл. 2), если Ds > 0, то откладываем вправо, если Ds < 0, то откладываем влево и из полученной точки восстанавливаем перпендикуляр до пересечения с температурой в конце процесса Т2 – точка пересечения дает точку 2
– соединяем точки 1 и 2 – процесс построен. Аналогично строятся все процессы цикла.
5. Для одного из процессов цикла (кроме изотермического) построить схему графического нахождения Du, Dh, q. На данную схему следует нанести численные значения необходимых для подсчета величин. На схеме приводятся абсолютные температуры в начале и конце процесса, изменение энтропии в процессе (для определения q) и изменения энтропии Dsv и Dsp (для определения Du и Dh). Необходимо разобраться в площадях, соответствующих всем определенным величинам. Для лучшего уяснения графического решения рассматриваются примеры для разных процессов.
Аналогично построению, выполненному в пункте 4в, построить выбранный процесс цикла (кроме изотермического) в Т–s диаграмме. Площадь под кривой процесса равна теплоте процесса и равна:
q = c DТ = c (Ti+1 – Ti) = 0,5 (Тi + Тi+1) Dsi+1, I (1)
Из анализа процессов известно, что для любого процесса справедливы равенства:
Du = cv DТ = 0,5 (Тi + Тi+1) Dsv (2)
Dh = cp DТ = 0,5 (Тi + Тi+1) Dsp (3)
Как известно, последние части данных уравнений – это площади соответствующих трапеций в Т–s диаграмме: (1) – под линией процесса; (2) – под изохорой, построенной в данном интервале температур, где
Dsv = cv ln (Тi+1/Тi) [Дж/кг K] ;
(3) - под изобарой, построенной в данном интервале температур, где
Dsp = cp ln (Тi+1/Тi) [Дж/кг K] .
Последние две зависимости показывают, что Dsv и Dsp для конкретного процесса всегда имеют один и тот же знак, а по абсолютной величине всегда |Dsv| < |Dsp|, согласно уравнению Майера:
cp = cv + R
Это приводит к тому, что линия p = const в Т – S диаграмме всегда более пологая, чем v = const. Кроме того линии p = const и v = const всегда имеют строго определенный наклон: поднимаются слева направо, если Т2 > Т1; – опускаются справа налево, если Т2 < Т1. Если построение выполняется правильно (как показано выше), то это обеспечивается автоматически.