2.4 Моделирование и прогнозирование рядов динамики

Для характеристики интенсивности изменения явления во времени необходимо рассчитать следующие показатели: абсолютные приросты, темпы роста и прироста, а также средние показатели. Все эти показатели определяются по формулам:

Абсолютный прирост Темп роста

базисный – y_б = y_i – y₁; базисный – T_pб = y_i / y₁*100; (8)

цепной – y_ц = y_i – y_i–-1. цепной – T_pц = y_i / y_i–-1*100.

Темп прироста

базисный – T_пpб = T_pб – 100;

цепной – T_пpц = T_pц – 100.

С редний абсолютный прирост

С реднегодовые темпы роста и прироста

Средний уровень ряда

Р ассчитанные показатели по каждому году принято оформлять в виде таблицы, например, таблицы 6.

Таблица 6. Динамика производства продукции по предприятию за 1994-2000 гг.

Год	Показатель yi	Абсолютный прирост, единиц		Темп роста, %		Темп прироста, %
		базисный	цепной	базисный	цепной	базисный	цепной

Средние показатели определяются после таблицы. После расчета всех показателей необходимо сделать вывод.

При изучении динамики явления необходимо выделить в ряде динамики основную тенденцию (общее направление развития) методом аналитического выравнивания – построить модель тренда как функцию от времени. Тип модели тренда определяется графически с помощью построения линейной диаграммы фактических уровней ряда динамики.

В качестве функций (моделей тренда) используются уравнение прямой, параболы, гиперболы, экспоненты и др.

f_t = a₀ +a₁ *t – прямая;

f_t = a₀ +a₁ *t + a₂ *t². – парабола и т.д. , где t – время; y – уровни ряда;

f_t – значение уровня ряда, полученное по модели; a₀ , a₁ , a₂ – параметры модели, определяемые из системы нормальных уравнений.

Для линейной модели система нормальных уравнений имеет вид (7):

Для квадратичной модели система нормальных уравнений имеет вид (8):

Для упрощения расчетов показатель времени t задается так, чтобы сумма по времени равнялась 0 (отчет времени с середины ряда динамики). Пример задания времени при четном и нечетном числе уровней ряда приведен в таблице 7.

Таблица 7

Уровни	Y1	Y2	Y3	Y4	Y5	Y6	t
Четное число (6)	-5	-3	-1	1	3	5	0
Нечетное число (5)	-2	-1	0	1	2		0

После такого задания времени система нормальных уравнений (7) упрощается и позволяет определить параметры модели a₀ и a₁.

Система нормальных уравнений для квадратичной модели (8) упрощается и позволяет рассчитать параметры модели путем решения системы двух уравнений с двумя неизвестными.

Пример 4. Имеются данные о потреблении овощей на одного члена семьи по району за 1991 –1999 г. (таблица 6).

Таблица 6

Год	1991	1992	1993	1994	1995	1996	1997
У(t)	10,0	10,5	12,0	10,2	13,0	16,3	18,0

Построить модель тренда методом аналитического выравнивания по прямой.

Решение: Для определения параметров модели построим расчетную таблицу 7

Таблица 7

Год	Потребление овощей, кг. yi	t	t2	yi*t	ft = 12,86 + 1,3*t
1991	10,0	-3	9	-30,0	8,96
1992	10,5	-2	4	-21,0	10,26
1993	12,0	-1	1	-12,0	11,56
1994	10,2	0	0	0	12,86
1995	13,0	1	1	13,0	14,16
1996	16,3	2	4	32,6	15,46
1997	18,0	3	9	54	16,76
Итого	90	0	28	36,6	90,02

П о данным расчетной таблицы 7 определим параметры линейной модели тренда y_t = a₀ +a₁ *t.

Рассчитаем значения f_t по построенной модели f_t = 12,86 + 1,3*t. Расчетные данные приведены в таблице 7. Для наглядного представления основной тенденции развития явления строится график фактических данных и модели тренда.

Пример 5. Имеются данные о производстве продукции по предприятию (тыс. шт.) за 1994 –2001 г. (таблица 8).

Таблица 8

Год	1994	1995	1996	1997	1998	1999	2000
У(t)	15	14,5	12,0	9,2	11,8	14,6	16,4

Построить модель тренда методом аналитического выравнивания по параболе.

Решение: Для определения параметров модели построим расчетную таблицу 9

Таблица 9

Год	Производ- ство продукции тыс. шт. yi	t	T2	yi*t	t4	yi*t2	ft
1994	15,0	-3	9	-45,0	81	135	15,81
1995	14,5	-2	4	-29,0	16	58	13,06
1996	12,0	-1	1	-12,0	1	12	11,47
1997	9,2	0	0	0	0	0	11,04
1998	11,8	1	1	11,8	1	11,8	11,77
1999	14,6	2	4	29,2	16	58,4	13,66
2000	16,4	3	9	49,2	81	147,6	16,71
Итого	93,5	0	28	4,2	196	422,8	93,52

П о данным расчетной таблицы 9 определим параметры квадратичной модели тренда y_t = a₀ +a₁ *t + a₂*t².

Решая систему уравнений, получим значения параметров – a₀ = 11,04, a₁ =0,15,

a₂ =0,58. Тогда модель основной тенденции примет вид :

f_t = 11,04 +0,15 *t + 0,58*t².

Рассчитаем значения f_t по построенной модели. Расчетные данные приведены в таблице 9. Для наглядного представления основной тенденции развития явления строится график фактических данных и модели тренда.