Пример таблицы сопряженности

	Исход есть (1)	Исхода нет (0)	Всего
Фактор риска есть (1)	10 (А)	13 (В)	23 (А+В)
Фактора риска нет (0)	4 (С)	21 (D)	25 (С+D)
Всего	14	34	48

Ожидаемое количество наблюдений для каждой ячейки рассчитывается путем перемножения сумм рядов и столбцов (маргинальных итогов) с последующим делением полученного произведения на общее число наблюдений. Так, для ячейки А (находится в первом ряду и в первом столбце) ожидаемое число будет равно 23 (итог ряда) · 14 (итог столбца)/48 (объем выборки) = 23 · 14/48 = 6,7. Для ячейки С ожидаемое число будет равно 14 · 25/48 = 7,3. Для оставшихся ячеек эти значения будут равны 16,3 (В) и 17,7 (D). Как видно из расчетов, ожидаемые значения необязательно целые числа.

Затем рассчитывается значение критерия χ² по формуле:

где i – номер ряда (строки, от 1 до r), j – номер столбца (от 1 до с – фактическое количество наблюдений в ячейке ij, – ожидаемое число наблюдений в ячейке ij. После подставления чисел в формулу получим:

Затем значение критерия χ² сравнивается с критическими значениями для (r – 1) · (c – 1) числа степеней свободы по таблицам, которые имеются в большинстве пособий по статистике. Для данного примера число степеней свободы равно (2 – 1) · (2 – 1), то есть 1. Для 1 степени свободы (а значит, для всех четырехпольных таблиц) критическое значение критерия равно 3,841 при уровне значимости 0,05. Наше значение (4,378) превышает критическое, значит, на основании применения критерия χ² Пирсона нулевая гипотеза об отсутствии статистической взаимосвязи между изучаемым фактором риска и исходом может быть отвергнута при критическом уровне значимости 5 %. В целом, чем больше различия между фактическими и ожидаемыми числами в каждой из ячеек таблицы, тем больше будет значение критерия и тем меньше будет значение достигнутого уровня значимости (р). При равенстве ожидаемых и фактических чисел значение критерия будет равно 0, а р = 1.

Хотелось бы подчеркнуть, что речь идет только о статистической взаимосвязи, поэтому выводы о наличии либо причинно-следственных, либо столь любимых многими авторами «достоверных» связей только на основании статистически значимых результатов были бы некорректны.

Вычисленное значение критерия χ² изменяется скачкообразно, так как основывается на частотах, которые являются целыми числами. В то же время табличные значения для распределения χ² составлены для непрерывной шкалы, поэтому в 1934 году английский статистик Фрэнк Йейтс (Frank Yates, 1902–1994) предложил поправку на непрерывность [19], которая сейчас известна под названием поправки Йейтса (Yates’s correction). Поправка заключается в вычитании 0,5 из абсолютного значения разности между фактическим и ожидаемым количеством наблюдений в каждой ячейке, что ведет к уменьшению величины критерия:

Практически во всех отечественных пособиях по биостатистике отмечается, что применение поправки Йейтса целесообразно. В других оговаривается, что ее применение необходимо при небольших объемах выборки и/или при количестве ожидаемых наблюдений в любой из ячеек < 10 или < 5. В третьих считается, что поправку на непрерывность следует применять всегда. В нашем примере в двух из четырех ячеек ожидаемое число наблюдений < 10, значит, применение поправки согласно большинству учебников целесообразно. Однако не все статистики согласны с необходимостью применять эту поправку, так как было показано, что она может приводить к получению заниженных значений критерия, а значит, увеличивать вероятность ошибки второго типа, то есть вероятность не найти различия там, где они есть. Уже через несколько лет после опубликования Йейтсом работы о применении поправки на непрерывность целесообразность ее применения была оспорена другим известным английским статистиком Эгоном Пирсоном (Egon Pearson, 1895–980, сын Карла Пирсона) и другими исследователями [11, 16, 17]. В 1970–1980 годах число критических публикаций, основанных на результатах компьютерных симуляций, достигло нескольких десятков [9, 14]. В некоторых зарубежных учебниках прямо сообщается, что применение поправки Йейтса нецелесообразно ввиду излишней ее консервативности [13], однако в большинстве других пособий она по-прежнему рекомендуется, несмотря на то, что авторы обсуждают ее консервативность. С одной стороны, такая консервативность хороша, так как уменьшается вероятность ошибки 1 типа, то есть обнаружения различий там, где их нет. Такая консервативность могла бы предотвратить применение более дорогого, но не более эффективного метода лечения. Ведь логично предположить, что если более дорогой метод оказался бы более эффективным, многие сочли бы внедрение этого метода в практику целесообразным. С другой стороны, консервативная оценка уменьшает статистическую мощность (чувствительность), а значит, вероятность обнаружить различия там, где они на самом деле есть, тоже уменьшается, что может остановить разработку потенциально более эффективного лечения, особенно на ранних этапах его разработки, если строго следовать дихотомическому подходу к принятию или отвержению нулевой гипотезы.

При наличии больших выборок различия в значениях критерия χ², получаемых с использованием поправки Йейтса и без нее незначительны, однако при малых выборках различия могут быть существенными. Следует помнить, что поправка Йейтса применяется только для четырехпольных таблиц, то есть при анализе двух дихотомических переменных. Для нашего примера значение критерия χ² с поправкой Йейтса составляет 3,149, что меньше критического значения (3,841), а значит, мы не можем отвергнуть нулевую гипотезу об отсутствии статистической связи между фактором риска и исходом.

Использование поправки привело к получению противоположного результата! Данная ситуация весьма показательна, так как имеет прямое отношение к гипертрофированной вере многих исследователей в величину р, а точнее, в дихотомичность ее значений (либо p > 0,05, либо p < 0,05), что может привести на основании одних и тех же данных к противоположным выводам всего исследования в зависимости от учебника, который читали (или какому больше верят) исследователи. В такой ситуации хотелось бы порекомендовать исследователям не зацикливаться на значении 0,05 и уж тем более не докладывать результаты применения только того критерия, который помогает «найти то, что очень хотелось». Далее в статье будут рассмотрены методы, позволяющие смотреть более широко на результаты сравнения качественных переменных. Но прежде рассмотрим альтернативы критерию χ².

Одной из таких альтернатив является расчет отношения правдоподобия ( ), или критерия χ² с поправкой на правдоподобие. Расчет основан на методе максимального правдоподобия, при котором оценка неизвестного параметра производится путем максимизации функции правдоподобия. Расчет производится по формуле:

после чего полученные значения критерия χ² сравниваются с табличными значениями, как описано выше. При больших выборках значения и приблизительно равны. При малых выборках значение обычно несколько меньше, а потому считается некоторыми авторами предпочтительнее [13]. Для нашего примера

что также превышает критическое значение для 1 степени свободы (3,841), а значит, позволяет отвергнуть нулевую гипотезу.

Все вышеперечисленные методы дают приблизительную (асимптотическую, asymptotic) оценку вероятности распределения чисел по ячейкам таблицы так, как было получено в результате исследования, если бы была верна нулевая гипотеза об отсутствии взаимосвязи между фактором риска и исходом. Точную (exact) вероятность для всевозможных четырехпольных таблиц с совпадающими маргинальными итогами можно рассчитать с помощью точного критерия Фишера (Fisher’s exact test) по формуле

где ! – факториал, который равен произведению числа на последовательность чисел, каждое из которых меньше предыдущего на 1. Например, факториал числа 5 рассчитывается как 5! = 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 120. Для нашего примера

что на уровне доверительной вероятности 95 % (критический уровень значимости 5 %) не позволяет отвергнуть нулевую гипотезу об отсутствии статистической взаимосвязи между фактором риска и исходом.

Этот метод вызывает меньше споров, чем поправка Йейтса, хотя некоторыми исследователями также высказываются сомнения в целесообразности его применения для малых выборок ввиду его консервативности [16]. Большинство статистиков, однако, по-прежнему придерживается мнения, что точный критерий Фишера следует применять при количестве ожидаемых наблюдений <5 (некоторые говорят о числе <10) в любой из ячеек четырехпольной таблицы. Более того, некоторые исследователи рекомендуют применять этот критерий даже в ситуациях, когда объем выборки равен нескольким сотням [15]. Использование компьютеров позволяет рассчитывать точную вероятность и при больших выборках, однако по мере увеличения числа наблюдений значение р, полученное с помощью точного критерия Фишера, будет приближаться к таковому, полученному с помощью критерия χ². Необходимые условия для применения точного критерия Фишера соответствуют условиям для применения критерия χ² за исключением пунктов 4 и 5, подразумевается также гипергеометрическое распределение значения в левой верхней ячейке четырехпольной таблицы, чего мы проверить не можем.

Итак, два из четырех статистических критериев говорят о том, что нулевую гипотезу можно отвергнуть, а два других – наоборот. Читатели, вероятно, помнят, что значение уровня значимости (р) во многом зависит от объема выборки. Даже сильную статистическую связь сложно выявить при малом числе наблюдений, в то время как при больших выборках даже слабая и клинически маловажная связь становится статистически значимой. Поэтому ошибочно было бы делать вывод о силе взаимосвязи между переменными только на основании достигнутого уровня значимости, а также сравнивать по значениям р силу взаимосвязи между признаками в совокупностях с разным числом наблюдений.

Большинство редакций зарубежных журналов рекомендует авторам не только представлять в научных работах достигнутые уровни значимости при проверке статистических гипотез, но и оценивать величину эффекта (effect size), то есть силу связи между признаками [18].

Критерии, оценивающие силу связи между номинальными переменными, могут принимать значения от 0 до 1. Они не могут иметь отрицательных значений, так как данные, измеряемые на номинальной шкале, не имеют порядкового отношения, что не позволяет изучать направление зависимости. Учитывая, что данная публикация ориентирована в основном на пользователей программного пакета SPSS, рассматриваться будут только те опции, которые предлагает этот пакет, что, разумеется, не означает, что других способов оценки величины эффекта не существует.

Критерий φ (фи, phi) предназначен взаимосвязи только для четырехпольных таблиц. Для многопольных таблиц целесообразнее применять критерий V Крамера (Cramer’s V). Значения обоих критериев варьируют от 0 до 1 (за исключением критерия φ для многопольных таблиц, поэтому для них его применение и не рекомендуется). Оба критерия основаны на критерии χ² и могут быть рассчитаны вручную по формулам:

и

Для четырехпольных таблиц значения обоих критериев будут совпадать (0,302 для нашего примера). Если интерпретировать полученные значения критериев φ и V Крамера согласно рекомендациям Rea & Parker (табл. 2), то можно сказать, что имеется средней силы связь между фактором риска и исходом.

Таблица 2