8. Найдите все натуральные числа, последняя десятичная цифра которых 0 и, которые имеют 15 натуральных делителя (включая единицу и само число).
Решение. Пусть искомое натуральное число представлено в виде , где – простые числа, – натуральные числа. Число делителей числа n, включая единицу и число n, равно .
Так как искомое число оканчивается на 0, то оно делится на 10.
Так
как
,
а
,
то
,
где
натуральные, не равные единицы числа и
искомое число
,
где
Каждое
из чисел
,
может принимать значение: 2 или 4. Составим
различные перестановки из чисел 2, 4.
Число различных перестановок из двух
чисел равно
.
Перестановки из чисел 2, 4 – это перестановки
(2; 4), (4; 2). В каждой перестановке
равно первому числу,
второму
числу.
Так
как искомое число
,
то следующие числа удовлетворяют условию
задачи:
Ответ.
9. Найдите все натуральные числа, которые делятся на 42 и имеют ровно 42 натуральных делителей (включая единицу и само число).
Решение. Пусть искомое натуральное число представлено в виде , где – простые числа, – натуральные числа. Число делителей числа n, включая единицу и число n, равно .
Так
как искомое число делится на 42 и
,
а
,
то
,
где
– натуральные, не равные единицы числа,
и искомое число
,
где
Каждое
из чисел
,
может принимать значение: 1, или 2, или
6. Составим различные перестановки из
чисел 1, 2, 6. Число перестановок из трёх
чисел равно
.
Это перестановки:
(1;
2; 6), (1; 6; 2), (2; 1; 6), (2; 6; 1), (6; 1; 2), (6; 2; 1). В
каждой перестановке
равно первому числу,
второму
числу,
третьему
числу.
Так как искомое число , то следующие числа удовлетворяют условию задачи:
Ответ.
10. Найдите все натуральные числа, которые делятся на 25 и имеют ровно 25 натуральных делителей (включая единицу и само число).
Решение. Пусть искомое натуральное число представлено в виде , где – простые числа, – натуральные числа. Число делителей числа n, включая единицу и число n, равно .
Рассмотрим два случая.
1.
Так как искомое число делится на 25, то
искомое число
,
где
.
Число
делится на 25 и имеет 25 натуральных
делителей, включая единицу и число n.
2.
Так как искомое число делится на 25, а
,
то
,
где
– натуральные, не равные единицы числа
и искомое число
,
где
– простое число, тогда
.
Число делится на 25 и имеет 25 натуральных делителей, включая единицу и число n.
Ответ.
где
– простое число
Упражнения
1. У натурального числа n ровно 4 натуральных делителей (включая единицу и само число). Сумма этих делителей равна 1464. Найдите все такие числа.
Ответ.1331; 974.
2. У натурального числа n ровно 4 натуральных делителей (включая единицу и само число). Сумма этих делителей равна 960. Найдите все такие числа.
Ответ.717; 869; 893; 899.
3. У натурального числа n ровно 6 натуральных делителей (включая единицу и само число). Сумма этих делителей равна 104.
Найдите это число.
Ответ.63.
4. У натурального числа n ровно 6 натуральных делителей (включая единицу и само число). Сумма этих делителей равна 1140. Найдите это число.
Ответ.931.
5. У натурального числа n ровно 6 натуральных делителей (включая единицу и само число). Сумма этих делителей равна 5490. Найдите это число.
Ответ. 4901.
6. У натурального числа n ровно 7 натуральных делителей (включая единицу и само число). Сумма этих делителей равна 19531. Найдите это число.
Ответ. 15625.
7. У натурального числа n ровно 8 натуральных делителей (включая единицу и само число). Сумма этих делителей равна 32984. Найдите это число.
Ответ. 29341.
8. У натурального числа n ровно 8 натуральных делителей (включая единицу и само число). Сумма этих делителей равна 8784. Найдите все такие числа.
Ответ. 4870; 6655.
9. У натурального числа n ровно 8 натуральных делителей (включая единицу и само число). Сумма этих делителей равна 960. Найдите все такие числа.
Ответ. 474; 621;.627; 665.
10. У натурального числа n ровно 8 натуральных делителей (включая единицу и само число). Сумма этих делителей равна 3280. Найдите это число.
Ответ. 2187.
11. У натурального числа n ровно 9 натуральных делителей
(включая единицу и само число). Сумма этих делителей равна 1281. Найдите это число.
Ответ. 676.
12. Найдите все натуральные числа, которые делятся на 91 и имеют ровно 91 натуральных делителей (включая единицу и само число).
Ответ.
13. Найдите все натуральные числа, которые делятся на 30 и имеют ровно 30 натуральных делителей (включая единицу и само число).
Ответ.
14. Найдите все натуральные числа, которые делятся на 49 и имеют ровно 15 натуральных делителей (включая единицу и само число).
Ответ.
,
где
–
простое число
15.
Натуральные
числа a
и b
имеют ровно по 95 натуральных делителей
(включая единицу и само число). Может ли
число
иметь ровно 190 натуральных делителей
(включая единицу и само число).
Ответ. Нет.