§2. Кортежи
Если
задано множество
,
то из его элементов можно составлять
не только упорядоченные пары, но и
упорядоченные тройки элементов, четверки
элементов и т. д. Например, буквы слова
«число» образуют упорядоченную пятерку.
Введем общее математическое понятие,
частными случаями которого являются и
упорядоченные пары, и упорядоченные
тройки, и упорядоченные четверки и т.
д.
Пусть
даны множества
.
Возьмем какой-нибудь элемент
из множества
,
потом элемент
из множества
,
... , элемент
–
из множества
.
Выбранные элементы расположим по
порядку:
.
Получаем упорядоченную
–
ку элементов (читается: «энка»), выбранных
из множеств
.
Вместо слов «упорядоченная
–
ка» говорят короче — «кортеж» (французское
слово «кортеж» означает торжественное
шествие, например, говорят «свадебный
кортеж» или «кортеж автомашин»). Число
называют длиной кортежа, элементы
— его компонентами.
Множества
могут иметь общие элементы или даже
совпадать друг с другом. Например, слово
«математика» — кортеж длины 10, составленный
из элементов множества
(при этом в слово «математика» входят
не все буквы этого множества, а лишь
часть этих букв). Предложение «Математика
– царица всех наук» — кортеж длины 4,
компонентами которого являются слова
русского языка. Каждое из этих слов —
кортеж, составленный из букв. Таким
образом, компонентами кортежа могут
быть и кортежи. Можно составлять и
кортежи, компонентами которых являются
множества, например:
.
В
математике примером кортежа может
служить набор цифр, входящих в десятичную
запись какого-нибудь числа. Этот кортеж
составлен из цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, причем
цифры могут повторяться, а при перестановке
цифр может получиться иное число. Так,
кортеж цифр числа 112 231 имеет вид
.
Определение.
Два кортежа
и
называют равными, если они имеют
одинаковую длину, т.е.
,
и каждая компонента первого кортежа
равна компоненте второго кортежа с тем
же номером, т. е.
,
например, кортежи
и
равны, а кортежи
и
не равны.
Используя
понятие кортежа, можно определить
понятие декартова произведения трех,
четырех и, вообще,
множеств. Пусть заданы
множеств:
(множества могут иметь общие элементы).
Из элементов этих множеств образуем,
кортежи длины
,
первая компонента которых принадлежит
множеству
,
вторая — множеству
,
... ,
–
я — множеству
.
Множество таких кортежей называют
декартовым произведением множеств
и обозначают
Задания для практических занятий и самостоятельного решения.
7. Запишите множество различных букв слова «параллелограмм». Запишите кортеж букв в этом слове. Какова длина этого кортежа?
8. Запишите различные множества, составленные из букв слова «куб». Запишите кортеж букв в этом слове. Какова длина этого кортежа?
9. Сколько цифр в записи числа 235535? Сколько различных цифр в записи этого числа?
10.
Образуйте
всевозможные кортежи длины 2 из
элементов множества
.
11. Используя цифры 2, 7, 8, запишите всевозможные двухзначные числа (цифры в записи числа не повторяются).