Если применить к той же функции формулу Маклорена

,

то получаем:

……………………………….

……………………………….

Т. о. , что совпадает с (33)

2) Во многих случаях можно находить разложение функции в ряд при помощи интегрирования, если известно разложение в ряд для производной такой функции.

Действительно, интегрируя от 0 до х равенство , получаем:

(34)

Пример 2. Разложить в ряд функцию

Очевидно, что . Учитывая далее, что

, (35)

получаем, согласно (34):

. (36)

Ответ:

Пример3. Разложить в степенной ряд функцию .

; (37)

(38)

(39)

Ответ:

8.13 Решение дифференциальных уравнений с помощью степенных рядов.

Пусть дано линейное дифференциальное уравнение:

(40)

все коэффициенты p_n(x) и правая часть f(x) разлагаются в сходящиеся в некотором интервале степенные ряды.

1) Метод сравнения неопределенных коэффициентов.

Будем искать решение (40) в виде степенного ряда:

(41)

где c_i - неизвестные пока коэффициенты.

Заметим, что вид (41) всегда позволяет удовлетворить начальным условиям.

Коэффициенты c_i находят следующим образом:

а) подставляют (41) в (40) , выполняя при этом все необходимые действия со степенными рядами (дифференцирование, сложение, вычитание, умножение и пр.);

б) требуя равенство коэффициентов при одинаковых степенях х в левой и правой частях уравнения, получают систему уравнений;

в) учитывая начальные условия из полученной системы уравнений последовательно определяют коэффициенты c_i.

Отметим, что этот метод применим и к нелинейным дифференциальным уравнениям.

Пример1. Решить задачу Коши: ; y(0)=1, y’(0)=0.

Решение уравнения будем искать в виде , (42)

тогда (43)

(44)

Подставляем полученные выражения (42)-(44) в исходное уравнение:

(45)

или (46)

Отсюда:

(47)

Подставив начальные условия в выражения для искомой функции (42) и ее первой производной (43), получаем:

. (48)

Учитывая (48) из (47), последовательно получаем:

Ответ.

2) Метод последовательного дифференцирования.

Рассмотрим метод на примере, взяв условия Примера 1.

Решение дифференциального уравнения будем искать в виде разложения неизвестной функции в ряд Маклорена:

(49)

Если заданные начальные условия y(0)=1, y’(0)=0 подставить в исходное дифференциальное уравнение , получим, что

Далее запишем дифференциальное уравнение в виде и будем последовательно дифференцировать его по х.

Подставляя вместе с y(0)=1, y’(0)=0, значения

в (49), получаем искомое решение.

Ответ.