§ 6.2 Приближённые методы

Из приближённых методов расчёта в теории разработки нефтяных месторождений наиболее распространены метод эквивалентных фильтрационных сопротивлений Ю.П. Борисова и метод интегральных соотношений Г.И. Баренблатта. Первый из указанных методов используют при расчёте установившихся течений жидкостей в плоских пластах со скважинами, а второй – в расчётах перераспределения давления жидкости при упругом режиме, неустановившегося движения газа и реже – задач диффузии, теплопроводности и конвекции. Метод интегральных соотношений хорошо разработан только для решения одномерных задач.

Рассмотрим вначале метод эквивалентных фильтрационных сопротивлений. Справедливость этого метода можно показать на примере конкретного решения о притоке жидкости к бесконечной цепочке скважин. Так, перепишем формулу (6.9) следующим образом:

. (6.24)

Первый член выражения, стоящего в скобках (6.24), характеризует фильтрационное сопротивление при движении жидкости в полосе шириной 2а на расстоянии от 0 до L, а второй член – фильтрационное сопротивление при радиальном движении жидкости от кругового контура до окружности радиуса r_с. Борисов Ю.П. назвал фильтрационное сопротивление – внешним, а – внутренним и предположил, что и в более сложных случаях установившихся плоских фильтрационных течений фактические фильтрационные сопротивления можно разделить на эквивалентные внешние и внутренние.

Метод эквивалентных фильтрационных сопротивлений позволяет рассчитывать с достаточной для практики точностью дебиты и давления в пластах при различных системах разработки.

Рассмотрим однорядную систему разработки со схемой расположения скважин, показанной на рисунке 6.3. При этом происходит поршневое вытеснение нефти водой из пласта толщиной h. Вязкость нефти в пластовых условиях составляет _н, а вязкость воды _в. Абсолютная проницаемость пласта k, а относительные проницаемости для нефти и воды, являющиеся постоянными согласно модели поршневого вытеснения нефти водой, равны соответственно k_н и k_в, радиус добывающей скважины r_с, радиус нагнетательной скважины r_нс. Вода в процессе вытеснения нефти в момент времени дошла до расстояния от нагнетательной скважины (рисунок 6.3). При этом расстояния между добывающими и нагнетательными скважинами равны. Дебит одной добывающей скважины, равный рас-

Р исунок 6.3 – Схема распределения давления в элементе однорядной системы разработки: 1 – нагнетательные скважины; 2 – добывающие скважины; 3 – элемент однорядной системы разработки; 4 – эпюра пластового давления в сечении АА'

ходу одной нагнетательной скважины, постоянен и составляет q. Требуется определить перепад давления между нагнетательной и добывающей скважинами.

Рассмотрим течение в одном элементе пласта (рисунок 6.3, заштрихованный квадрат) шириной . Обозначим давление на расстоянии от нагнетательной скважины, равном , через . В соответствии с условием задачи и формулой Дюпюи

.

Согласно методу эквивалентных фильтрационных сопротивлений течение в рассматриваемом элементе складывается из трёх: радиального (течение воды) от нагнетательной скважины радиусом r_нс до контура радиусом , прямолинейного (течение нефти) от галереи , где давление , до галереи , где давление и радиального (течение нефти) – от контура радиусом , где давление также равно , до добывающей скважины радиусом r_с. Учитывая, что ввиду симметрии прямолинейное течение происходит с расходом (вправо и влево от нагнетательной скважины уходит жидкость с расходом ), получаем

.

Наконец, для дебита добывающей скважины имеем формулу

.

Перепишем приведённые выше выражения относительно перепадов давлений в виде

; ; .

Сложим эти выражения. В результате получим требующийся ответ

.

Рассмотрим ту же задачу, что и (6.12) – (6.13), но решим ее методом интегральных соотношений Г.И. Баренблатта, согласно которому приближённое решение задачи представляется в виде многочлена. Далее считаем, что приближённое распределение температуры удовлетворяет не исходному дифференциальному уравнению, а интегральным соотношениям, получаемым в результате умножения левой и правой частей уравнения на координату в степени n и их интегрирования. При использовании описываемого приближённого метода принимают, что всякое незначительное изменение температуры в случае теплопроводности или давления в случае упругого режима распространяется не мгновенно, а существует в ограниченной «возмущённой» области. Для рассматриваемой задачи интегральное соотношение имеет вид

, (6.25)

где n – любое, обычно целое число, начиная с нуля. Положим в качестве первого приближения и возьмём решение в виде

. (6.26)

Выполним граничные и начальное условия, которые при приближённом решении задачи имеют несколько иной вид, чем при точном решении, а именно:

при ; при . (6.27)

Должно также всегда выполняться условие . При решении задачи приближённым методом необходимо также дополнительно выполнять условие

. (6.28)

Соблюдая приведённые условия, получаем

; ; .

Таким образом,

. (6.29)

Для определения подставляем (6.29) в (6.25) при , считая . В результате получим уравнение

.

Отсюда

, (6.30)

т.е. задача решена.

Определим, как и в примере 2, скорость уноса тепла при . Имеем

. (6.31)

Сравнивая приведённое приближённое выражение с точным (6.18), находим, что скорость уноса тепла, определенная приближённым методом, будет больше точной в раз, т.е. всего примерно на 2 %.