Вариант № 3657662

1.B 5 № 27595. Пе­ри­мет­ры двух по­доб­ных мно­го­уголь­ни­ков от­но­сят­ся как 3:5. Пло­щадь мень­ше­го мно­го­уголь­ни­ка равна 18. Най­ди­те пло­щадь боль­ше­го мно­го­уголь­ни­ка.

Ре­ше­ние.

От­но­ше­ние пло­ща­дей по­доб­ных мно­го­уголь­ни­ков равно квад­ра­ту от­но­ше­ния их пе­ри­мет­ров. Пусть пе­ри­метр и пло­щадь мень­ше­го мно­го­уголь­ни­ка со­от­вет­ствен­но равны P₁ и S₁, пе­ри­метр и пло­щадь боль­ше­го мно­го­уголь­ни­ка со­от­вет­ствен­но равны P₂ и S₂. По­это­му

 

,

от­ку­да

,

По­это­му S₂ = 50.

 

Ответ: 50.

Ответ: 50

2.B 5 № 27707. Две сто­ро­ны пря­мо­уголь­ни­ка равны 6 и 8. Най­ди­те длину век­то­ра .

Ре­ше­ние.

Век­тор об­ра­зу­ет в пря­мо­уголь­ни­ке два пря­мо­уголь­ных тре­уголь­ни­ка. По­это­му по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра .

 

Ответ: 10.

Ответ: 10

3.B 5 № 27772. Ост­рые углы пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка равны и . Най­ди­те угол между вы­со­той и ме­ди­а­ной, про­ве­ден­ны­ми из вер­ши­ны пря­мо­го угла. Ответ дайте в гра­ду­сах.

Ре­ше­ние.

так как – ме­ди­а­на, то (свой­ство ме­ди­а­ны в пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке), а зна­чит, углы и равны как углы при ос­но­ва­нии рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка.

 

.

Ответ: 42.

 

Ответ: 42

4. B 5 № 27712. Две сто­ро­ны пря­мо­уголь­ни­ка равны 6 и 8. Диа­го­на­ли пе­ре­се­ка­ют­ся в точке .Най­ди­те длину раз­но­сти век­то­ров  и .

Ре­ше­ние.

Раз­ность век­то­ров и равна век­то­ру . Длина век­то­ра .

 

Ответ: 8.

Ответ: 8

5.B 5 № 27675. Точки O(0; 0), A(6; 8), B(6; 2), C(0; 6) яв­ля­ют­ся вер­ши­на­ми че­ты­рех­уголь­ни­ка. Най­ди­те ор­ди­на­ту точки P пе­ре­се­че­ния его диа­го­на­лей.

Ре­ше­ние.

 

,

,

,

.

Про­ти­во­по­лож­ные сто­ро­ны по­пар­но равны, че­ты­рех­уголь­ник яв­ля­ет­ся па­рал­ле­ло­грам­мом, зна­чит, точка P яв­ля­ет­ся се­ре­ди­ной от­рез­ка CB. По­это­му ко­ор­ди­на­ты точки P вы­чис­ля­ют­ся сле­ду­ю­щим об­ра­зом:

 

, .

Ответ: 4.

Ответ: 4

6.B 5 № 27845. Диа­го­на­ли че­ты­рех­уголь­ни­ка равны 4 и 5. Най­ди­те пе­ри­метр че­ты­рех­уголь­ни­ка, вер­ши­на­ми ко­то­ро­го яв­ля­ют­ся се­ре­ди­ны сто­рон дан­но­го че­ты­рех­уголь­ни­ка.

Ре­ше­ние.

Сто­ро­ны ис­ко­мо­го че­ты­рех­уголь­ни­ка равны сред­ним ли­ни­ям тре­уголь­ни­ков, об­ра­зу­е­мых диа­го­на­ля­ми и сто­ро­на­ми дан­но­го че­ты­рех­уголь­ни­ка. Таким об­ра­зом, сто­ро­ны ис­ко­мо­го че­ты­рех­уголь­ни­ка равны по­ло­ви­нам диа­го­на­лей. Со­от­вет­ствен­но,

 

.

Ответ: 9.

Ответ: 9

7.B 5 № 27656. Най­ди­те ор­ди­на­ту се­ре­ди­ны от­рез­ка, со­еди­ня­ю­ще­го точки O (0; 0) и A (6; 8).

Ре­ше­ние.

Ко­ор­ди­на­ты точки, де­ля­щей от­ре­зок по­по­лам , счи­та­ют­ся по фор­му­ле:

 

,

Ответ: 4.

Ответ: 4

8. B 5 № 27708. Две сто­ро­ны пря­мо­уголь­ни­ка равны 6 и 8. Най­ди­те длину суммы век­то­ров  и .

Ре­ше­ние.

Сумма век­то­ров и равна век­то­ру . Век­тор об­ра­зу­ет в пря­мо­уголь­ни­ке два пря­мо­уголь­ных тре­уголь­ни­ка. По­это­му по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра .

 

Ответ: 10.

Ответ: 10

9.B 5 № 27594. Сред­няя линия и вы­со­та тра­пе­ции равны со­от­вет­ствен­но 3 и 2. Най­ди­те пло­щадь тра­пе­ции.

Ре­ше­ние.

Пло­щадь тра­пе­ции равна про­из­ве­де­нию по­лу­сум­мы ос­но­ва­ний на вы­со­ту. Сред­няя линия тра­пе­ции равна по­лу­сум­ме ос­но­ва­ний. По­это­му

 

см².

Ответ: 6.

Ответ: 6

10.B 5 № 27832. В пря­мо­уголь­ни­ке рас­сто­я­ние от точки пе­ре­се­че­ния диа­го­на­лей до мень­шей сто­ро­ны на 1 боль­ше, чем рас­сто­я­ние от нее до боль­шей сто­ро­ны. Пе­ри­метр пря­мо­уголь­ни­ка равен 28. Най­ди­те мень­шую сто­ро­ну пря­мо­уголь­ни­ка.