10.4. Метод Ньютона

Построение итерационной последовательности

, (10.4)

сходящейся к корню уравнения .

Теорема. Пусть определена и дважды непрерывно дифференцируема на , причем , а производные , отличны от нуля и сохраняют знак на отрезке . Тогда, исходя из начального приближения , удовлетворяющего неравенству , можно построить последовательность , сходящуюся к единственному на решению x уравнения

Оценка погрешности n-го приближения корня:

,

где – наибольшее значение на ;

– наименьшее значение на .

Метод Ньютона сходится с квадратичной скоростью сходимости

Если , то .

Обеспечение точности : .

Замечание. Метод Ньютона – метод простой итерации с , . При  , , метод Ньютона сходится.

10.5. Модификации метода Ньютона

Таблица 10.1.

Итерационные методы вычисления корня нелинейного уравнения

№	Наименование	Формулы
1	Упрощенный метод Ньютона
2	Метод хорд	c – фиксированная точка из окрестности корня
3	Метод секущих
4	Метод Стеффенсена
5	Модифицированный метод Ньютона для поиска кратных корней	, где m – кратность вычисляемого корня

10.6. Метод Вегстейна



 и :

,

Замечания:

1. Сходимость – быстрее,

2. в окрестности корня.

10.7. Метод Рыбакова а. М.

 ,

Пусть .Итерационный процесс:

. (10.5)

, (10.6)

где – первый левый корень на отрезке .

– из формулы (10.5).

:

При n=0 – справедливо.

При (n+1) : , где .

Последовательность , сходится к .

Последовательность (10.5) сходится к – первому корню уравнения , расположенному справа от .

Методы решений произвольной нелинейной системы уравнений

в :

или

,

здесь .

10.8. Метод простых итераций (метод последовательных приближений)

(10.7)



(10.8)

При (10.8) сходится к точному решению системы (10.7)

,

где – точка, лежащая между точками n-мерного пространства и на прямой, соединяющей эти точки.

Теорема. Пусть в некоторой G-окрестности решения системы (10.1) функции дифференцируемы и выполнено неравенство

, (10.9)

где – постоянная. Тогда независимо от выбора начального приближения из указанной G-окрестности корня итерационная последовательность не выходит из этой окрестности, метод сходится со скоростью геометрической прогрессии и справедлива следующая оценка погрешности:

. (10.10)

Замечание 1.

В условиях теоремы верна оценка погрешности

, (10.11)

которая удобна для формирования критерия окончания итераций, если известна величина q .

q=?

При наличии достаточно хорошего начального приближения :

,

. (10.12)

Замечание 2.

На практике .

Достаточное условие сходимости: .

Ускорение сходимости

на основе использование аналога метода Зейделя:

Определение из ,

где .

Ускорение сходимости

на основе использование метода релаксации:

Определение :