4.3 Дескриптивные статистики
4.3.1 Дескриптивные статистики нормально распределенных данных
Многие из статистик применимы, когда данные распределены нормально или, по крайней мере, гистограмма значений переменных симметрична. В частности, среднее, стандартное отклонение, дисперсию, стандартную ошибку среднего следует использовать лишь после того, как вы проанализируете данные и убедитесь, что распределение близко к симметричному и не имеет выбросов и дополнительных горбов. Эти статистики могут приводить к ошибочным выводам в случаях, когда распределение значительно отклоняется от нормального.
Для иллюстрации таких распределений используются гистограммы, диаграммы накопленных частот, ящичковые диаграммы, диаграммы "ствол-лист".
Межквартильная широта (ящик) - это разность значений переменной, соответствующих первому и третьему квартилям.
Если наблюдения в выборке взяты из нормального распределения, выборочное среднее является наилучшей оценкой среднего для популяции. Если же в выборке имеются выбросы или другие отклонения от нормальности, лучше использовать 5%-е усеченное среднее. Если эти оценки сильно различаются, распределение, по-видимому, не является нормальным.
5% усеченное среднее - это среднее значение, вычисленное без учета 5% наименьших и 5% наибольших значений.
Если данные выборки сгруппированы, 5%-е усеченное среднее вычисляется путем упорядочивания значений внутри каждой из групп по возрастанию, отсечением (удалением) 5% наблюдений от начала и от конца в каждой группе и затем вычислением обычного среднего для оставшихся наблюдений. Таким образом, нетипичные величины в хвостах распределения не влияют на значение усеченного среднего; при этом данная оценка использует больше значений данных (больше информации), чем медиана.
Диаграмма ветвей и листьев представляет собой комбинацию гистограммы и табличного списка. Как на гистограмме, длина каждой строки соответствует количеству наблюдений, попадающих в определенный интервал. Но, сверх этого, на данной диаграмме выводится также наблюдаемое численное значение для каждого наблюдения. Для этой цели численное значение разбиваются на два компонента: ветвь, представляющую собой первую цифру или группу цифр и лист — последующие цифры. Ветвь соответствует тем разрядам численного значения наблюдаемой переменной, которые не изменяются, а листья — разрядам, которые изменяются в пределах избранного интервала.
Таблица 2.2 Пример диаграммы ветвей и листьев
Frequency |
Stem & |
Leaf |
6,00 |
3 . |
677999 |
7,00 |
4 . |
0223333 |
14,00 |
4 . |
66677788888999 |
23,00 |
5 . |
01111111122223333333444 |
20,00 |
5 . |
55667777778888888899 |
27,00 |
6 . |
000011111222333333333444444 |
27,00 |
6 . |
555555666666677888888999999 |
24,00 |
7 . |
000000011111122233333444 |
13,00 |
7 . |
5566666788899 |
11,00 |
8 . |
00001111224 |
2,00 |
8 . |
67 |
Оценка центра распределения при наличии выбросов или неоднородности может осуществляться при помощи М-оценок (Губера, Тьюки, Хампеля). Основная идея М-оценок состоит в том, чтобы перед вычислением среднего значения присвоить отдельным наблюдениям разные веса. В распространенных М-оценках применяются веса, уменьшающиеся с удалением от центра распределения. Следовательно, обычное среднее значение можно рассматривать как М-оценку с единичными весами для всех наблюдений.