Задачі на рух

Задачі на рух можна поділити на дві групи. До першої групи віднесемо задачі, в основі розв’язання яких лежить уміння орієн­туватися у просторі (№№ 80, 293, 366, 401, 904). У цих задачах йдеться лише про відстані. До другої групи належать задачі, у яких йдеться про три взаємопов’язані між собою величини — швидкість, час і відстань.

Робота над задачами на рух (І група)

Розглянемо зразки задач першої групи.

1. Собака пробіг по стежці від будки до саду 300 м, а потім по­вернувся і в протилежному напрямку пробіг відстань, у 3 рази меншу. На якій відстані від будки опинився собака?

Такі задачі вчать виконувати найпростіші креслення, що слугу­ють коротким записом. Креслення до цієї задачі може бути таким:

300 м

З креслення видно, що собака зупинився у точці, позначеній прапорцем. Відстань від будки до прапорця можна обчислити, якщо від усієї відстані (300 м) відняти її третину:

300 - 300 : 3 = 300 - 100 = 200 (м).

Можна поставити ще одне запитання: скільки всього метрів про­біг собака? Вчитель на тому ж кресленні показує, що тепер шу­кана відстань складається з двох частин: відстані туди - 300 м і відстані назад - від 300 м. Тому вираз буде такий:

300 + 300 : 3 = 400 (м).

2. З пункту А через пункт В до пункту С одночасно виїхали два автомобілі. Через годину перший автомобіль не доїхав до пун­кту В 50 км, а другий був на відстані 65 км за пунктом В. На скільки більше кілометрів проїхав другий автомобіль?

Учитель (або учень) креслить на дошці ілюстрацію:

Р_ С

м 50 км 65 км N

Місце знаходження через годину першого автомобіля показан прямокутним прапорцем, другого - трикутним.

• Як дізнатися, на скільки одна відстань більша від другої (Треба від більшої відстані відняти меншу.) Які дві відстані мі порівнюємо? (Відстані, що їх проїхали обидва автомобілі ви пункту А до свого прапорця, тобто А/У і АМ.) Що від чого наг треба відняти? ("А/У - АМ.) Учні на кресленні знаходять ці від стані і з’ясовують, що жодна з них не відома. Зате можна буквамі записати результат: АМ — АМ = МІ<Г. Учитель ретельно показує ц відстані на кресленні.

• А з яких двох відрізків складається відстань ММ? (МИ = МВ + ВИ.) То як обчислимо шукану відстань? (50 + 65 = 115 (км)._ Це рідкісний випадок, коли задачу на різницеве порівняння мі розв’язуємо дією додавання.

3. З міста А в місто В виїхав велосипедист, а з міста В йому назустріч вирушив вершник. До зустрічі велосипедист про­їхав в км, а вершник проїхав відстань, у 3 рази більшу. Яка від­стань між містами А і В?

-в

На кресленні місце зустрічі позначено прапорцем. Учні під керівництвом учителя з’ясовують, що відстань від точки А до пра­порця дорівнює в, а від прапорця до міста В - в • 3.

Задача готує до усвідомлення, що при зустрічному русі від­стань між пунктами дорівнює сумі відстаней, пройдених обома учасниками руху до зустрічі. Тому в нашій задачі вся відстань становить 6 + 6 ■ 3. У початкових класах учні ще не знають, що в -\- в • 3 = #+3<?=4#, але на кресленні їм можна показати, що відстань АВ складається з чотирьох рівних відрізків, кожний з яких становить в км. Тому її по-іншому можна записати так: в+в+в+в=в-4 (км).

4. Відстань між двома човнами 15 км. Якою буде відстань між ними, якщо один човен пропливе 17 км 250 м проти течії, а дру­гий 19 км 885 м за течією?

Задача має два варіанти розв’язання, що визначаються напря­мом руху човнів відносно течії.

Перший випадок

<— ^1—> течія ^

17 км 250 м 15 км 19 км 885 м

Другий випадок

течія

17\км 250 м

19 км 885 м

В обох випадках шукана відстань буде між прапорцями. У пер­шому випадку вона обчислиться як сума трьох відстаней. В дру­гому випадку відстань між прапорцями можна обчислити двома способами:

1. спосіб. (17 км 250 м - 15 км) + 19 км 885 м.

2. спосіб. 17 км 250 м + (19 км 885 м - 15 км).

Робота над задачами на рух (II група)

Розглянемо тепер задачі другої групи. Її, в свою чергу, мож­на поділити на прості і складені задачі, у яких використовується взаємозв’язок між швидкістю, часом і відстанню.

Прості задачі

У простих задачах за двома даними величинами знаходиться не­відома третя величина. Вона шукається за допомогою правила, по­даного в підручнику. Як уже говорилося, робота над цією трійкою величин має таку саму логіку, як і робота над раніше вивченими трійками (ціна, кількість, вартість; маса одного предмета, кількість предметів, загальна маса тощо), проте обчисленню однієї з трьох величин у названій трійці присвячені спеціальні уроки. Спочатку

учні знайомляться із поняттям швидкості: швидкість - це відст пройдена рухомим об’єктом за одиницю часу. Наприклад, 5 км означає, що за кожну годину пішохід проходить 5 км; 2 км/хі начає, що автомобіль щохвилини долає відстань 2 км і т. д. О' щоб знайти швидкість, потрібно всю відстань поділити на час який вона пройдена. Ознайомившись з правилом, учні розв’язу прості задачі на знаходження швидкості (№№ 381, 382). Аналс но відбувається ознайомлення з правилом на знаходження відс і розв’язування відповідних простих задач (№№ 389, 391) те знаходження часу (№№ 398, 399). Для легшого запам’ятовува цих правил можна зобразити на дошці схеми:

|Швидкість\- \час\=\вїдстань\

\Відстань\: \час\=\швидкість\

\Відстань\: \швидкість\= \нас\

Учитель звертає увагу дітей на те, що ці три записи ілюсі ють давно відомий їм зв’язок множення і ділення: щоб знайти відомий множник, треба добуток поділити на відомий множни

Епи’ Складені задачі

Щодо складених задач із величинами швидкість, час і і стань, то їх умовно можна поділити на три великі підгрупи:

• задачі на 2-3 дії, які не пов’язані з типовими;

• задачі на 2-3 дії, які є типовими або розширенням типових;

• задачі на рух в одному і протилежних напрямах.

Розглянемо почергово ці підгрупи.

Підгрупа перша

До неї входять знайомі учням з третього класу задачі на зз ходження суми і різниці двох добутків, суми і різниці ДВОХ Чі ток, задачі, які включають знаходження частини від числа та і але з величинами швидкість, час і відстань. Серед них є задачі правило знаходження швидкості (№№ 383, 384, 385, 387, 3£ 426 та ін.); відстані (№№ 390, 392, 397); часу (№ 400).

Розглянемо приклади таких задач.

1. Велосипедист був у дорозі 6 год, а пішохід 2 год. Велосипедист проїхав 72 км, а пішохід пройшов 10 км. На скільки швидкість пішохода менша за швидкість велосипедиста?

У підручнику до такої задачі подається план розв’язування. Можна запропонувати сильнішим учням скласти за цим пла­ном вираз і знайти його значення. Середні учні можуть спочатку розв’язати задачу діями, а тоді — виразом. Слабшим учням після розв’язування діями можна надати допомогу для складання вира­зу у вигляді структурного запису:

Цей запис показує, що розв’язання задачі являє собою різни­цю двох часток.

2. Відстань ЗО км вершник проїхав туди і назад за 6 год. З якою швидкістю їхав вершник?

Задачу можна розв’язати двома способами.

1. спосіб.

1. ЗО • 2-60 (км) - весь шлях туди і назад;

2. 60 : 6 = 10 (км/год) - швидкість вершника.

2. спосіб.

1. 6 : 2 = 3 (год) - час руху в один бік;

2. ЗО : 3 = 10 (км/год) - швидкість вершника.

Задачі, у яких говориться про рух туди і назад є дуже ко­рисними для усвідомлення, що дії можна виконувати лише над відповідними значеннями величин. Так, у першому способі від­повідними значеннями відстані і часу є числа 60 км і 6 год, а в другому - ЗО км і 3 год. Відповідними вони є тому, що 60 км вершник проїхав за 6 год, а 30 км — за 3 год. Саме при діленні відповідних значень відстані і часу можна правильно обчислити швидкість. Порівнявши обидва способи розв’язання, учні переко­нуються, що швидкість виходить однаковою, незалежно від вибо­ру пари відповідних чисел.

3. Відстань між двома пристанями 640 км. Половину цієї від­стані моторний човен пройшов за 8 год. З якою швидкістю йшов човен?

Це задача, що включає знаходження частини від числа. У ній учні знову знаходять відповідні значення відстані і часу:

1. 640 : 2 = 320 (км) - пройшов човен за 8 год;

2. 320 : 8 = 40 (км/год) - швидкість човна.

Учитель звертає увагу учнів на те, що в першій дії во знайшли відстань, яка відповідає часу 8 год. А чи не можна бу б знайти час, що відповідає відстані 640 км? Міркувати мож так: якщо половину відстані (320 км) човен проходить за 8 гс то цілу відстань (640 км) він пройде за час, удвічі більший, н:

8 год. Тому задачу можна розв’язати і другим способом:

1. 8 - 2 = 16 (год) - час, потрачений на шлях 640 км;

2. 640 : 16 = 40 (км/год) - швидкість човна.

В усіх трьох наведених задачах головним завданням було ві шукання швидкості.

Розглянемо тепер задачі, у яких треба знайти відстань.

1. Один велосипедист їхав 2 год зі швидкістю 15 км/год, а другий - З год зі швидкістю 10 км/год. Хто з них проїхав більшу від­стань і на скільки кілометрів?

Задача розв’язується виразом, що має структуру різниці двс добутків:

15-2-10-3 = 0 (км), або: 10-3-15-2 = 0 (км).

Відповідь: велосипедисти проїхали однакову відстань.

2. За день турист ішов пішки 3 год, а автобусом їхав 4 год. Пішки він ішов зі швидкістю 5 км/год, а автобусом їхав зі швидкістю 50 км/год. Який шлях подолав турист за день?

Це задача на суму двох добутків:

5-3 + 50-4 = 215 (км).

Доцільно обидві задачі розв’язати на одному уроці і порівняті структури обох виразів.

Наведемо ще зразок задачі на знаходження суми двох часток у якій невідомим є час.

3. Турист пройшов 15 км зі швидкістю 5 км/год, після чого 200 км проїхав автобусом зі швидкістю 50 км/год. За який час здій­снив турист усю мандрівку?

Сильний учень може на дошці записати структуру виразу:

^: [Ц] + [Ц] ^: СНІ ⁼ СЦ( ), а слабший - внести потрібні числа і

знайти відповідь.

Підгрупа друга Типові задачі на рух і задачі, що є розширенням типових Ми докладно розглядали такі задачі, коли знайомилися з ти­повими задачами на знаходження четвертого пропорційного та на пропорційне ділення. Тому зараз розглянемо лише декілька задач.

1. Човен пройшов 2 км зі швидкістю 200 м/хв. За цей кас плавець проплив 300 м. З якою швидкістю рухався плавець?

Це задача на знаходження четвертого пропорційного 4-го виду. Якщо записати її коротко в таблицю, то розв’язання не виклика­тиме труднощів:

	Швидкість	Час	Відстань
Човен	200 м/хв	Однаковий	2 км
Плавець	?		300 м

Аналогічно можна ілюструвати і наступні задачі.

2. Велосипедист, рухаючись зі швидкістю 15 км/год, проїхав від­стань між двома містами за 4 год. Повертаючись, він проїхав ту саму відстань за 5 год. З якою швидкістю повертався вело­сипедист?

	Швидкість	Час	Відстань
Туди	15 км/год	4 год	Однакова
Назад	р	5 год

Як видно з таблиці, це задача на знаходження четвертого про­порційного 6-го виду.

3. Велосипедист за 12 год міг би проїхати відстань 180 км. Скіль­ки кілометрів проїде мотоцикліст за 10 год, якщо його швид­кість на 40 км/год більша від швидкості велосипедиста?

	Швидкість	Час	Відстань
Велосипедист	□ - п	12 год	180 км
Мотоцикліст |ГИ, на 40 км/год більша—		10 год	?

Це розширена задача на базі типової на знаходження четверто- 'О пропорційного першого виду. Розширення на одну дію полягає

^:клас 229

457

в тому, що швидкість не є сталою величиною і швидкість мото­цикліста потрібно обчислити.

4. Автомобіль проїхав 480 км за 6 год. Цю саму відстань проїхав і мотоцикліст зі швидкістю, що становить ^ від швидкості автомобіля. Скільки годин був у дорозі мотоцикл?

	Швидкість	Час	Відстань
Автомобіль	1—1 <	6 год	480 км
	и
Мотоцикл	□, \від —'	?	480 км

Як бачимо з таблиці, задача складена шляхом розширення ти­пової задачі другого виду.

Підгрупа третя

Задачі на рух в одному і в протилежних напрямах Задачі на рух у протилежних напрямах і в одному напрямі відрізняються від усіх попередніх задач на рух тим, що рухи обох учасників сюжету пов’язані один з одним у часі й просторі. У зада­чі говориться, з яких точок, у якому напрямі і в який час вируши­ли рухомі об’єкти. Розв’язати таку задачу можна, лише уявивши, як вони рухаються один відносно другого. Тому, на відміну від ти­пових задач, короткий запис тут найкраще виконувати у вигляді креслення, де всі суттєві моменти руху можна зобразити наочно.

Задачі на рух у протилежних напрямах поділяються на задачі на зустрічний рух (№№ 605, 606, 609, 615, 618, 622, 624, 638, 852, 975) і задачі на рух з однієї точки в різні боки (№№ 436, 519, 782). І одні, і другі ще можна поділити на задачі, у яких рух почався од­ночасно і неодночасно (з відомою різницею часу), а також на задачі, у яких потрібно знайти: а) відстань між пунктами відправлення;

б) одну зі швидкостей; в) час руху учасників до зустрічі.

Розглянемо зразки таких задач на прикладі одного сюжету.

З двох міст одночасно назустріч один одному виїхали два ве­лосипедисти і зустрілися через 3 год. Швидкість першого ве­лосипедиста 12 км/год, другого - 14 км/год. Яка відстань між містами?

12 км/год

к—^

14 км/год

З год

Зі

?км

Перше таке креслення варто виконати докладно. Прапорці і стрілки показують, що велосипедисти рухаються назустріч один одному. Подвійний прапорець посередині показує місце зустрічі велосипедистів і напрям їх подальшого руху. Над подвійним пра­порцем написано, через скільки годин вони зустрілися. Довжини стрілок різні, бо різні швидкості. Кінець стрілки спроектовано на відрізок, щоб показати, що швидкість визначає, де буде велоси­педист через 1 год. До зустрічі кожний їхав 3 год, отже, пройшов три таких відрізки. Креслення треба детально пояснити учням, тоді вони правильно уявлятимуть рух велосипедистів. Із креслен­ня можна зробити два важливих висновки, які знадобляться в усіх подальших таких задачах: 1) те, що велосипедисти зустрілися че­рез 3 год, означає, що кожний з них до зустрічі був у дорозі 3 год (бо вони виїхали одночасно); 2) відстань між містами дорівнює сумі відстаней, пройдених двома велосипедистами до зустрічі.

Задачі, у яких невідома відстань між пунктами відправлення, розв’язуються двома способами. Перший спосіб випливає з вище- наведеного другого пункту про суму відстаней: потрібно знайти відстань, пройдену до зустрічі кожним велосипедистом, і знайдені результати додати. Розбір задачі можна провести від запитання:

- З яких двох частин складається відстань між містами? (3 від­стані, яку проїхали до зустрічі перший велосипедист і другий вело­сипедист.) (Учитель показує їх на кресленні.) Чи можемо ми взна­ти, яку відстань проїхав до зустрічі перший велосипедист? (Так, оскільки нам відомо, що він їхав 3 год зі швидкістю 12 км/год.) Чи можна знайти, яку відстань проїхав до зустрічі другий вело­сипедист? (Так, бо сказано, що другий велосипедист їхав 3 год зі швидкістю 14 км/год.) А коли знайдемо обидві відстані, то про що зможемо дізнатися? (Про відстань між містами.) На скільки дій задача? (На три.) Про що дізнаємося у першій дії? (Скіль­ки кілометрів до зустрічі проїхав перший велосипедист.) Якою дією? (Дією множення. Швидкість першого велосипедиста помно­жимо на час його руху.) Про що дізнаємося другою дією? (Скільки кілометрів проїхав до зустрічі другий велосипедист.) Якою дією? (Дією множення. Швидкість другого велосипедиста помножимо на час його руху до зустрічі.) Про що дізнаємося третьою дією? (Про відстань між містами.) Якою дією? (Дією додавання. Оби­дві знайдені відстані додамо.)

Розв’язання після такого аналізу учні повинні написати саме стійно: