Основные правила:

В.К.

У.К.

А В

А∧ В

А∧ В

А∧ В

А

В

В.Д.

У.Д.

А (В)

А ∨ В

А ∨ В

А ∨ В

Ā

¬В

В

А

У.И.

А → В

А

В

В.Э.

У.Э.

А→ В

А↔ В

А↔ В

В→ А

А→В

В → А

А↔ В

В.О.

У.О.

А

¬ ¬ А

¬ ¬ А

А

В.И.

С.А.

П (посылки)

П (посылки)

А(доп.)

А(доп.)

……

…….

…….

…….

…….

В

В

¬В

А→ В

¬А

Правило

Доказательство

А→ В

А→ В

1.

Посылка

В → С

В →С

2.

Посылка

А→ С

А

3.

Допущение

В

4.

У.И. 1, 3.

С

5.

У.И. 2, 4.

А→ С

6.

В.И. 3, 5

Правило

Доказательство правила:

А → В

1

А → В

Посылки

¬В

2

¬В

Посылки

¬А

3

А

Допущение

4

В

У.И.1,3.

5

¬А

С.А. 2,4

Правило

Доказательство:

¬(А∨В)

1

¬(А∨В)

Посылка

¬А∧¬В

2

А

Допущение

3

А∨В

В.Д.2

4

¬А

С.А.1.3

5

В

Допущение

6

А∨В

В.Д.5

7

¬В

С.А.1.6

8

¬А∧¬В

В.К. 4, 7

Правило

Доказательство:

¬(А∧В)

1

¬(А∧В)

Посылка

¬А∨¬В

2

¬(¬А∨¬В)

Допущение

3

¬¬А∧¬¬В

О.Д.2

4

¬¬А

У.К.3

5

А

У.О.4

6

¬¬В

У.К.3

7

В

У.О.6

8

А∧В

В.К.5.7

9

¬¬(¬А∨¬В)

С.А.1,8

10

¬А∨¬В

У.О.9

Правила контрапозиции:

Доказательство

А → В

1

А → В

Посылка

¬В→¬А

2

¬В

Допущение

3

¬А

M.t.1,2

4

¬В→¬А

В.И.2,3

2 Правило

Доказательство

¬В→¬А

1

¬В→¬А

Посылка

А → В

2

А

Допущение

3

¬¬А

В.О.2

4

¬¬В

M.t. 1,3

5

В

У.О.4

6

А → В

В.И. 2,5

Правило :

Доказательство:

(А∧В)→С

1

(А∧В)→С

Посылка

(А∧¬С)→¬В

2

А∧¬С

Допущение

3

А

У.К.2

4

¬С

У.К.2

5

¬ (А∧В)

M.t.1,4

6

¬А∨¬В

О.К.5

7

¬¬А

В.О.3

8

¬В

У.Д.6,7

9

(А∧¬С)→¬В

В.И.2,8

Правило

Доказательство:

А→С

1

А→С

Посылка

В →С

2

В →С

Посылка

А∨В

3

А∨В

Посылка

С

4

¬С

Допущение

5

¬А

M.t.1,4

6

¬B

M.t.2,4

7

B

У.Д.3,5

8

С

С.А.6.7

Правило

Доказательство:

А→В

1

А→В

Посылка

С→D

2

С→D

Посылка

А∨C

3

А∨C

Посылка

В ∨D

4

A

Допущение

5

В

У.И.1,4

6

В∨D

В.Д. 5

7

A →(В∨D)

В.И.4,6

8

С

Допущение

9

D

У.И.2,8

10

B∨D

В.Д.9

11

С →(B∨D)

В.И.8,10

12

B∨D

Сведение к П.К.Д. 3,7,11

Правило

Доказательство:

А→В

1

А→В

Посылка

А→С

2

А→С

Посылка

¬ В ∨¬С

3

¬ В ∨¬С

Посылка

¬А

4

¬ В→¬А

Правило контрапозиции. 1

5

¬С→¬А

Правило контрапозиции. 2

6

¬А

П.К.Д. 3,4,5

Правило

Доказательство:

А→В

1

А→В

Посылка

С →D

2

С→D

Посылка

¬ В ∨¬D

3

¬В∨¬D

Посылка

¬А ∨¬С

4

¬В→¬А

П.К.1

5

¬D→¬С

П.К.2

6

¬А∨¬С

С.К.Д.3,4,5