Двумерные геометрические (аффинные) преобразования
В этой лекции мы начинаем изучать математический аппарат машинной графики. В процессе визуализации объекта его необходимо представить в заданном масштабе, повернуть, переместить в требуемую позицию или выполнить другое более сложное преобразование в соответствии с требованиями решаемой задачи. Эти преобразования можно выполнить с помощью рассматриваемого ниже математического аппарата. Изучение мы начнем с более простых двумерных преобразований, а затем обобщим их, рассмотрев трехмерные преобразования.
Представление точек и общая схема преобразования с использованием матриц
Так как в компьютерной
графике большинство объектов определяются
с помощью точек или вершин, то начнем
именно с них. Как известно, точка на
плоскости представляется двумя своими
координатами (x
y).
Эту пару можно представить в виде матрицы
[x
y]
размером 1*2 называемой вектор-строка
или матрицы
размером 2*1 называемой вектор-столбец.
Данные матрицы часто называют координатными
векторами. В трехмерном пространстве,
точка определяется тройкой координат,
и координатный вектор увеличивают свой
размер на единицу. Например, вектор-строка
будет иметь размер 1*3 - [x
y
z]
.
Правила матричной алгебры определяют набор допустимых операций над координатным вектором.
Если геометрическое преобразование представить в виде матрицы, то результат преобразования точки можно представить следующей формулой:
Р*М = Р’ ,
где М – матрица геометрического преобразования; Р – вектор-строка представляющая исходную точку; Р’- вектор-строка полученная в результате преобразования.
Другими словами мы представили применение геометрического преобразования как произведение матриц. Рассмотрим данное произведение подробнее.
Р*М =[x
y]
[(ax+cy)
(bx+dy)]
= [x’
y’]
т.е. координаты преобразованной точки формируются суммой исходных координат умноженных на соответствующие коэффициенты:
x’= ax+cy;
y’= bx+dy;
Если в матрице преобразования a=d=1 и c=b=0 то
x’= 1x + 0y = x;
y’= 0x+1dy = y;
Результат
преобразования совпадает с исходными
значениями. Матрица
- соответствующая такому преобразованию
называется единичной (т.е. квадратная
матрица любого размера, главная диагональ,
которой заполнена единицами). Умножение
на такую матрицу подобно умножению на
единицу в традиционной алгебре. Несмотря
на кажущуюся бесполезность, единичные
матрицы находят широкое применение при
работе с геометрическими преобразованиями.
В ходе выполнения преобразований нам потребуется решать две задачи. Прямую задачу – находить координаты преобразованного объекта на основе координат исходного объекта и матрицы трансформации. Собственно ее решение рассмотрено нами выше. И обратную задачу – находить координаты исходного объекта на основе координат преобразованного объекта и матрицы трансформации.
Р’* М-1 = Р ,
где М-1 - это матрица обратная к матрице трансформации. Методы получения таких матриц рассматриваются в матричной алгебре. Мы рассмотрим одно важное свойство такой матрицы. Если применить к объекту некоторое преобразование, а затем преобразование, обратное данному, то исходный объект останется неизменным.
Р*М* М-1= Р
Такой же эффект мы получали при умножении на единичную матрицу. Следовательно, произведение М* М-1 дает единичную матрицу.