2. Расчет эллипса погрешностей при обсервациях по двум линиям положения.

Случайные погрешности навигационных параметров вызывают случайные смещения навигационных изолиний (линий положения). В результате обсервованное место оказывается смещенным относительно истинного по случайному направлению и на случайную величину. Предсказать случайную векторную погрешность места невозможно. Поэтому погрешность места учитывается в вероятностном смысле в виде указания площади, в пределах которой находится истинное место судна с определенной вероятностью.

В теории вероятностей показывается, что при нормальном распределении точек на плоскости, истинная безошибочная точка с некоторой вероятностью находится в пределах площади эллипса соответствующих размеров, проведенного относительно наиболее вероятного места этой точки. При оценке точности места судна за центр эллипса принимают обсервованное или, в общем случае, вероятнейшее место судна. Эллипсов подобных друг другу можно провести бесконечное множество, и каждому из них соответствует своя вероятность невыхода истинного места судна за пределы данного эллипса (рис. 4).

Чем больше размеры эллипса, тем выше вероятность нахождения безошибочного места в пределах этой площади.

Так как эллипсы рассеивания характеризуют возможные ошибки места, то их называют эллипсами погрешностей.

Средний квадратический эллипс погрешностей (СКЭ, ЭСКП, Э_м) – это эллипс с полуосями а и в, равными средней квадратической погрешности места по данным направлениям Т_а и Т_в= Т_а  90 и вероятностью нахождения судна в нем Р = 0,393. При а = в СКЭ превращается в круг погрешностей (в круговую погрешность) радиуса r = а = в и вероятностью Р = 0,393.

Эллипс погрешностей Э_р заданной вероятности Р имеет полуоси а_Р = Са и в_Р = Св, где С – коэффициент, выбираемый из таблицы 4.12 МТ – 2000.

Предельный эллипс погрешностей – эллипс, в пределах которого находится судно с вероятностью Р  0,95.

Если для вероятность не указана, то она считается равной Р = 0,95, а полуоси

= 2,45a и = 2,45в.

Таблица 4.12 МТ – 2000 служит для определения вероятности нахождения судна в пределах эллипса погрешностей заданных размеров. Она рассчитана по формуле:

(10)

где – коэффициент равный отношению полуосей а_Р и в_Р – заданного эллипса Э_р к одноименным полуосям а и в среднего квадратического эллипса погрешностей Э_m. Значение вероятностей Р выбирается из таблицы 4.12 по коэффициенту С.

При решении обратной задачи полуоси эллипса погрешностей Э_р, внутри которого место судна находится с заданной вероятностью Р_зад, вычисляется по формулам

а_Р=Са и в_Р=Св (11)

где С – коэффициент, выбираемый из таблицы 4.12. по заданной вероятности Р_зад.

Для расчета среднего квадратического эллипса погрешностей в штурманской практике применяется таблица 4.11 МТ – 2000 «Оценка точности места по двум линиям положения», ранее применялось приложение 5 к МТ – 75.

В таблице даны коэффициенты К_а, К_в и угол  для определения элементов среднего квадратического эллипса погрешностей (СКЭ, ЭСКП), а так же коэффициент К_м для расчета радиальной средней квадратической погрешности (РСКП) места по двум линиям положения.

Аргументами для входа в таблицу являются:

• априорное значение коэффициента взаимной корреляции r линий положения (навигационных параметров) в пределах от 0 до 1 с интервалом 0,2; при независимых линиях положения или при отсутствии данных обеих корреляций в таблицу входят с r = 0;

• коэффициент в пределах от 0,0 до 1,0 с интервалом 0,1, где – полная СКП более точной линии положения, а – полная СКП менее точной линии положения (  ); предварительно и должны быть рассчитаны по известной формуле

• угол  = ₂ – ₁ между направлениями градиентов линий положения в пределах от 20 до 160 с интервалом 10.

Коэффициенты К_а и К_в служат для расчета полуосей среднего квадратического эллипса погрешностей: ; .

Направление большой оси эллипса погрешностей фиксирует угол , который всегда откладывается от более точной линии положения. Модуль положительного угла  откладывается внутрь угла между линиями положения, равного  (рис. 6). Модуль отрицательного угла  откладывается внутрь угла между линиями положения, равного 180 – . Если  = 90 и r  0, то за угол  между линиями положения принимается тот, который образован направлениями ₁ – 90 и ₂ – 90 или направлениями ₁ + 90 и ₂ + 90. Коэффициент К_м служит для расчета РСКП места:

(11)

Пример 1. Место судна получено по двум взаимонезависимым линиям положения (r = 0). Направления градиентов линий положения ₁ = 170 ₂ = 40. СКП линий положения . Определить эллиптическую и радиальную средние квадратические погрешности места.

Решение.

1. по r = 0 и  = ₂ – ₁ = 40 – 170=130 из таблицы 4.11а МТ – 2000 выбираем К_а=2,8, К_в=0,9, К_м=2,9 и = –7

2. Вычисляем элементы среднего квадратического эллипса погрешностей:

3. От более точной линии положения внутрь угла между линиями положения (т.к. угол  отрицательный) откладываем угол =-7=7 и тем самым определяем направление большой оси эллипса погрешностей.

Вероятность нахождения истинного места судна в пределах площади эллипса с заданными полуосями а_Р = Са и в_Р = Св рассчитывается по формуле (10); в ней e – основание натурального логарифма. Формула (10) получена в результате интегрирования функции, выражающей плотность двухмерного нормального распределения. При этом за область интегрирования принят эллипс с заданным коэффициентом С.

Единственный аргумент для расчета вероятности – величина С, характеризующая размеры эллипса относительно среднего квадратического эллипса погрешностей.

Если С = 1, т.е. а_Р = а и в_Р = в (средний квадратический эллипс), то формула (10) дает результат Р = 0,393. Это значит, что вероятность нахождения истинного места судна в пределах среднего квадратического эллипса составляет 39,3%.

Если С = 2, т.е. а_Р = 2а и в_Р = 2в (удвоенный средний квадратический эллипс), то Р = 0,865.

Если С = 3, т.е. а_Р = 3а и в_Р = 3в (утроенный средний квадратический эллипс), то Р = 0,989.