1) А, где а – точка, являющаяся вершиной угла;

2) Вас, где а – точка, являющаяся вершиной угла, в и с – точки, взятые на разных сторонах угла (ав и ас – лучи, образующие угол);

3) (Ab), где a, b – лучи, образующие угол.

Аксиома откладывания углов: От любой полупрямой в заданную полуплоскость можно отложить угол с заданной градусной мерой, меньшей 180°, и притом только один.

На прямой n выберем точку N. От луча NB откладываем угол с вершиной в точке N и строим луч NA.

Аксиома взаимного расположения лучей на плоскости. Из трех различных лучей, лежащих в одной полуплоскости и имеющих общее начало, один и только один луч лежит между двумя другими.

Чтобы сравнить два угла, нужно наложить один угол на другой так, чтобы сторона одного угла совместилась со стороной другого, а две другие оказались по одну сторону от совместившихся сторон. Если две другие стороны также совместятся, то углы равны. Если же эти стороны не совместятся, то меньшим считается тот угол, который составляет часть другого. У меньшего угла градусная мера меньше. COB < AOB.

Неразвернутый угол составляет часть развернутого, поэтому развернутый угол больше неразвернутого угла. Любые два развернутых угла равны.

Определение 5. Луч, исходящий из вершины угла и делящий его на два равных угла, называется биссектрисой угла. OC – биссектриса. COB = AOС = AOB.

Измерение углов основано на сравнении их с углом, принятым за единицу измерения. Обычно за единицу измерения углов принимают градус – угол, равный части развернутого угла. часть градуса называется минутой, а часть минуты называется секундой.

Определение 6. Положительное число, которое показывает, сколько раз градус и его части укладываются в данном угле, называется градусной мерой угла.

Если два угла равны, то градус и его части укладываются в этих углах одинаковое число раз, т. е. равные углы имеют равные градусные меры. Если же один угол меньше другого, то в нем градус или его часть укладываются меньшее число раз, чем в другом угле, т. е. меньший угол имеет меньшую градусную меру. Для измерения углов используется транспортир.

А ксиома измерения углов: 1. Каждый угол имеет положительную градусную меру. Градусная мера угла равна сумме градусных мер двух углов, на которые он делится некоторым лучом, лежащим внутри угла. 2. Каково бы ни было положительное число, не превышающее 360, существует угол, градусная мера которого равна этому числу.

AOB =  AOC +  BOC.

2. Сформулировать признаки равенства треугольников. Доказать второй признак равенства треугольников.

Формулировки признаков равенства треугольников.

Первый признак равенства треугольников. Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

Второй признак равенства треугольников. Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Третий признак равенства треугольников. Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

Доказательство второго признака равенства треугольников.

П о Атанасяну.

Дано: АВС и А₁В₁С₁; А = А₁;

С = С₁; АС = А₁С₁.

Доказать: АВС = А₁В₁С₁.

Доказательство:

1. Совместим вершину А₁ А₁В₁С₁ с вершиной А АВС.

2. Наложим отрезок А₁С₁ на отрезок АС. Они совпадут, так как А₁С₁ = АС по условию.

3. Так как А = А₁ по условию, луч А₁В₁ накладывается на луч АВ.

4. Так как С = С₁ по условию, луч С₁В₁ накладывается на луч СВ.

5. Вершина В – общая точка сторон АВ и СВ – окажется лежащей как на луче А₁В₁, так и на луче С₁В₁ и следовательно, совпадет с их общей точкой – точкой В₁.

6. Поэтому совместятся стороны АВ и А₁В₁ и СВ и C₁В₁. Треугольники АВС и А₁В₁С₁ полностью совместятся.

П о Погорелову.

Дано: АВС и А₁В₁С₁; А = А₁; С = С₁; АС = А₁С₁.

Доказать: АВС = А₁В₁С₁.

Доказательство:

1. Пусть А₁В₂С₂ – треугольник, равный треугольнику АВС, с вершиной В₂ на луче А₁В₁ и вершиной С₂ в той же полуплоскости относительно прямой А₁В₁, где лежит вершина С₁.

2. Т. к. А₁В₁ = А₁В₂, то вершина В₂ совпадает с вершиной В₁.

3. Т. к. В₁А₁С₁ = В₁А₁С₂ и А₁В₁С₁ =  А₁В₁С₂, то луч А₁С₂ совпадает с лучом А₁С₁, а луч В₁С₂ совпадает с лучом В₁С₁.

4. Отсюда следует: вершина С₂ совпадает с вершиной С₁.

5. Треугольник А₁В₁С₁ совпадает с треугольником А₁В₂С₂, а значит, равен треугольнику АВС.

Билет № 3.