Табличный симплекс-метод

Основная идея симплекса-метода состоит в переходе от одного допустимого базисного решения к другому таким образом, что значения целевой функции при этом непрерывно возрастают (для задач максимизации).

Предположим, что ограничения задачи сведены к такому виду, что в матрице А имеется единичная подматрица и все свободные члены положительные. Иными словами, пусть матрица ограничений имеет вид

A₁x₁+…+A_nx_n+e₁x_n+e₁x_n+1+…+e_mx_n+m=A₀=[a_i0],

где

 … — единичный базис, a_i00

для всех i = 1, 2,…, n.

Применим одну итерацию метода полного исключения к расширенной матрице ограничений A_p=[A₁, …, A_n, e₁, …, e_m, A₀].

Пусть a_ij– направляющий элемент преобразования на данной итерации. Тогда в результате преобразований в соответствии с (2.2.18) получим новые значения свободных членов:

.                               (2.2.19)

Исследуем выражения (2.2.19). и выясним условия, при которых a_l0^(k+1)>0 для всех l, то есть новое базисное решение будет также допустимым.

По предположению a_l0^(k)>0; l=1,…,m,

a_ij^(k)>0,

тогда

Если a_lj^(k)<0, тогда a_l0^(k+1) > 0, поскольку a_i0^(k) > 0 , a_ij^(k) > 0.

Если a_lj^(k)>0, то

будет больше нуля при всех l=1, 2. ..., m тогда и только тогда, когда

                          (2.2.20)

Преобразование Гаусса называют симплексным преобразованием, когда направляющий элемент определяют по следующим правилам:

a) направляющий столбец j выбирают из условия, что в нем имеется хотя бы один положительный элемент;

б) направляющую строку i выбирают так, чтобы отношение  было минимально при условии, что a_ij>0.

При таком преобразовании в базис вводится вектор A_j и выводится вектор А_i. Теперь надо определить, как выбрать вектор, вводимый в базис, чтобы при этом значение целевой функции увеличилось.

Для этого используют так называемые оценки векторов _j:

                    (2.2.21)

где I_б – множество индексов базисных векторов; x_ij– определяют из условия

                                   (2.2.22)

Величины {_j } равны симплекс-разницам для переменных {x_j} с противоположным знаком. Следовательно, для того чтобы значение целевой функции увеличилось, необходимо выбрать направляющий столбец А_j с наибольшей по модулю отрицательной оценкой, то есть

 .

Для решения задачи симплекс-методом на каждой итерации заполняют симплекс-таблицу 2.2.

Таблица 2.2.

c			c1	c2	c3	…	cj	…	cn
	Bx	a00	A1	A2	A3	…	Aj	…	An
c1	x1	a1o	a11	a12	a13	…	a1j	…	a1n
c2	x2	a2o	a21	a22	a23	…	a2j	…	a2n
…	…	…	…	…	…	…	…	…	…
ci	xi	aio	ai1	ai2	ai3	…	aij	…	ain
…	…	…	…	…	…	…	…	…	…
cm	xm	amo	am1	am2	am3	…	amj	…	amn
			1	2	3	…	j	…	n

Последняя сторока таблицы — индексная —служит для определения направляющего столбца. Ее элементы _j определяют по формуле (2.2.21). Очевидно, для всех базисных векторов {A_i} i=1,…,m оценки _и=a_0и=0.

Значение целевой функции a₀₀  определяется из соотношения

 .

В столбце B_x записываем базисные переменные {x_i} i= 1, ..., т. Их значения определяются столбиком свободных членов a_i0, то есть

x_i=a_i0, i=1, 2,…,m.

Направляющие строка A_i и столбец A_j указываются стрелками. Если в качестве направляющего элемента выбран a_ij, то переход от данной симплекс таблицы к следующей определяется соотношениями (2.2.16) - (2.2.18).

Итак, алгоритм решения задачи ЛП табличным симплексом-методом состоит из этапов.