Глава 1. Сплайны в теории приближений

1. Полиномиальные сплайны

Пусть произвольные числа из .

Обозначим через - множество полиномов степени не выше , где ;

-множество функций, непрерывных на вместе со своими производными до порядка включительно .

Введём на сетку

, положим , ;

Определение 1. Функция определеная на называется полиномиальным сплайном степени , дефекта , , относительно сетки , если

1) на ,

2)

Точки , где называются узлами сплайна. Производные порядка при от функции могут оказаться разрывными на . Из определения следует, возможными точками разрыва этих производных могут быть лишь узлы сплайна.

Сплайном дефекта «0» на всём отрезке является многочлен степени m.

При сплайн называется простым.

Определение 2. Полиномиальный сплайн степени дефекта , определённый на , называется -периодическим, если

,

Для фиксированной сетки и заданных чисел и совокупность сплайнов удовлетворяющих определению 1 (определению 2) обозначается

При положим

Из определений 1 и 2 вытекает

В силу определения 1 на любом частичном отрезке сплайн однозначно определяется при помощи параметров. В качестве таких параметров можно взять коэффициенты полинома, представляющего сплайн на этом частичном отрезке. Например, определяющими параметрами на , могут быть коэффициенты из следующего полиномов:

(2)

Всего наберётся таких параметров

В силу условия 2 из определения 1 должны быть выполнены соотношения:

, , , (3)

т.е. параметров оказываются зависимыми

В силу формул (2) соотношения (3) принимают вид:

, ;

, ; (4)

Первая группа формул (4) показывает, что на любом , коэффициенты при являются линейными комбинациями коэффициентов сплайна на предыдущем отрезке.

Аналогично, вторая группа (4) показывает, что является линейными комбинациями сплайна на последующем отрезке.

Поэтому при использовании первой (второй) формулы из (2) достаточно задать лишь коэффициенты , , (коэффициенты , , ). Таким образом, к любому сплайну из множества можно построить в соответствии вектор размерности и наоборот. Это соответствие является взаимно однозначным. Следовательно размерность множества равна _.

2. Интерполяционные сплайны нечётной степени

Пусть на задана функция _. Положим ; ; -узлы сетки.

При сплайн на всём представим одним и тем же многочленом степени .

Возможны случаи

А) если , то условия интерполяции можно задать в виде . Тогда сплайн степени дефекта 0 при совпадает с интерполяционным полиномом Лагранжа, а при , вообще говоря может и не существовать.

Б) , то условия интерполяции могут быть заданы в виде , , , где : , тогда совпадает с интерполирующим полиномом многочленом Эрмита при этом предполагается, что ; . Тогда при , , могут потребоваться выполнения следующих условий: _.

Полиномиальные сплайны называются четными при и нечетными при . В приложениях чаще используются сплайны невысокой степени, так как процесс построения таких сплайнов проще. При имеем простейшие сплайны нечетной степени-линейные. При среди чётных получаем параболические, а среди нечётных кубические.