7. Основы теории чисел
Задача
1.
Доказать
бесконечность множества простых чисел
вида 4m +
3.
Решение. Предположим
противное, т.е. что множество простых
чисел вида 4m +
3 конечно. Пусть p1,,pn -
его элементы.
Если n -
четное число, то
p1·p2··pn +
2 (-1)n +
2 3
(mod 4),
т.е. p1·p2··pn +
2 = 4m +
3 при некотором m N.
Следовательно это число имеет простой
делитель p вида p =
4k +
3 (в самом деле, если все простые делители
числа 4m+
3 имеют вид 4k +
1, то и их произведение имеет вид 4k +
1). С другой стороны нетрудно заметить,
что ни одно из чисел p1,p2,,pn не
является делителем числаp1·p2··pn +
2. Отсюда получаем, что p {p1,p2,, pn}.
Противоречие с тем, что все простые
числа вида 4m+3
содержатся в множестве {p1,p2,,pn}.
Если n -
нечетное число, то
p1·p2··pn +
4 (-1)n +
4 3
( mod 4).
Аналогично
рассуждая доказывается существование
простого числа p вида p =
4k +
3 такого, что p {p1,p2,,pn}.
И снова получено противоречие с исходным
предположением.
