2.Дифференциальные уравнения первого порядка.

Общий вид ДУ первого порядка: F(x ,y, y^/)=0. Если это уравнение разрешить относительно производной, то получится, так называемый

нормальный вид дифференциального уравнения первого порядка:

y^/ = f(x, y). (3)

Учитывая формулу Лейбница , это уравнение записывается как уравнение в дифференциалах

dy = f(x, y)dx. (4)

Рассмотрим методы решения важнейших классов дифференциальных уравнений первого порядка, «интегрируемых» в явном виде.

2.1. Класс простейших дифференциальных уравнений.

y^/ = f(x).

Метод решения. y есть первообразная от известной функции f(x); она находится интегрированием этой функции:

.

Общее решение имеет вид у =F(х) +С, где F(х) – частное решение, С – произвольная постоянная. Если F(х) определена на интервале (а,b), то все интегральные кривые на интервале (а,b) в этом классе ДУ получаются из

одной кривой сдвигом вдоль оси Oy.

Пример 3. y^/ = sin2x.

Решение: .

2.2. Класс уравнений с разделяющимися переменными.

ДУ первого порядка

(5)

или, в дифференциалах, M(x, y)dx =N(x ,y)dу

называется уравнением с разделяющимися переменными, если функции M(x,y) и N(x,y) разлагаются на множители, зависящие каждый только от одной переменной:

M(x,y)= f₁(x)g₁(y) и N(x,y)= f₂(x)g₂(y).

Тогда уравнение в дифференциальной записи принимает вид:

f₁(x)g₁(y)dx= f₂(x)g₂(y)dy ,

или после разделения переменных:

. (6)

Метод решения. Проинтегрируем обе части уравнения (6):

В ответе должна фигурировать только одна произвольная постоянная С

(как при интегрировании суммы или разности функций).

Пример 4. Решить уравнение ydx – xdy = 0.

Решение. Делим обе части уравнения на xy , получаем

или . Интегрируем обе части уравнения: ,

ln y = ln x +C₁. Для удобства выберем произвольную постоянную С₁ в виде

С₁ = ln С, где С – новая произвольная постоянная. Имеем: ln y = ln x +ln C,

откуда согласно свойствам логарифмов ln у =ln хС.

Ответ: у =Сх.

Пример 5. Пусть у – количество химически чистого радиоактивного вещества в некотором сосуде. С течением времени х количество радиоактивного вещества у = у(х) уменьшается в соответствии с ДУ

у^/ = - λ ·у,

где коэффициент λ – константа радиоактивного распада, различная для разных веществ. Требуется найти зависимость у от времени х (она называется законом радиоактивного распада).

Решение. Перепишем данное ДУ в дифференциалах: dy=- λ ·y ·dx.

Разделяем переменные: и интегрируем обе части уравнения:

, так что ln y= - λ ·х +С, откуда находим общее решение ДУ

у=е^{С - λх} =е^С ·е ^{- λ x}. Обозначим начальное количество вещества как у₀ = у(0). Подставив х=0 в общее решение, найдем е^С = у₀ .

Ответ: у = у₀·е ^{-λ x} .