Задание р.2. Анализ и расчет линейных электрических однофазных цепей переменного тока

Задача Р.2, а. В цепь синусоидального тока с частотой f включены индуктивная катушка L, резистор R и конденсатор С. Известны f, U, L и R. Рассчитать емкость конденсатора С, при которой будет наблю­даться резонанс токов. Определить показание амперметра. Построить векторную диаграмму.

Вариант	f, Гц	U, В	L, Гн	R, Ом
7	250	60	0,33	75

Решение

Обозначим токи на схеме

A

В этой схеме общим параметром для двух ветвей является напряжение U. Первая ветвь - индуктивная катушка - обладает активным сопротивлением R и индуктивностью L. Результирующее сопротивление Z₁ и ток I₁ определяются по формуле:

, где 

Поскольку сопротивление этой ветви комплексное, то ток в ветви отстает по фазе от напряжения на угол  .

Покажем это на векторной диаграмме (рис. 1).

Рис 1

Спроецируем вектор тока I₁ на оси координат. Горизонтальная составляющая тока будет представлять собой активную составляющую I_1R, а вертикальная - I_1L. Количественные значения этих составляющих будут равны:

 где 

Во вторую ветвь включен конденсатор. Его сопротивление

Этот ток опережает по фазе напряжение на 90°.

Для определения тока I в неразветвленной части цепи воспользуемся формулой:

Его значение можно получить и графическим путем, сложив векторы I₁ и I₂ (рис. 2)

Угол сдвига между током и напряжением обозначим буквой .

Здесь возможны различные режимы в работе цепи. При = +90° преобладающим будет емкостный ток, при = -90° - индуктивный. Возможен режим, когда = 0, т.е. ток в неразветвленной части цепи I будет иметь активный характер. Произойдет это в случае, когда I_1L = I₂, т.е. при равенстве реактивных составляющих тока в ветвях.

Рис 2

На векторной диаграмме это будет выглядеть так (рис. 3):

Рис. 3

Подставим числовые значения:

X_L= X_C= f L = 250*0.33 = 82.5

Z₁= = ≈ 111.5

X_C= f C

C = X_C / f = 82.5/250 = 0.33 Ф

I₁ = U/ Z₁ = 60/111.5 = 0.5 А

I₂ = U/ X_C = 60/82.5 = 0.7 A

I_1R = I₁cos _cos (arctg ) = 0.5cos 41° = 0.5*0.75 = 0.38 A

_ R/X_L= 75/82.5 = 0.9 = 41°

I_1L = I₁sin _sin 41° = 0.5*0.66 = 0.33 A

I = + (I_1L- I₂)² = = = = 0,53 A

		Задача Р.2, б. В цепи переменного тока частотой 50 Гц известны XC, XL, R1, R2. Рассчитать напря­жение U, ток I2 через резистор R2 и ток в неразветвлен­ной части цепи I. Начертить векторную диаграмму.
Вариант	ХС, Ом		ХL, Ом	R1, Ом	R2, Ом	I1, А
7	14		10	14	8	9

Решение:

Пусть внешнее ЭДС (E = U) описывается следующим уравнением (гармонических колебаний):

1. U_t = U₀ sin wt

Где U₀ – амплитуда, w = 2πf – круговая частота, t – время.

Тогда U в ветви 1 и P в ветви 2 нашей цепи так же будут протекать электромагнитные колебатеьные процессы с той же частотой f, но с соответственными сдвигами по углу колебаний _и _, описываемые следующими уравнениями:

2. I_1t = I₁₀sin (wt_),

3. где I₁₀ = U₀ / = U₀ / Z₁

4. _arctg

5. I_2t = I₂₀sin (wt_),

6. где I₂₀ = U₀ / = U₀ / Z₂

7. _arctg(- )

8. I_t = I₀sin (wt),

9. где I₀ = + + 2 I₁₀ I₂₀cos (__

10. _arctg(- )

Из условия U = U₁ = U₂ имеем:

(11) U₁ = U₂ => I₁Z₁=I₂Z₂ => I₂ = I₁*Z₁/Z₂

(12) U = U₁ = I₁Z₁ = I₁

Соотношение (1)-(12) позволяют найти все искомые величины (U, I₂, I) и построить необходимую векторную диаграмму.

Ход решения: по уравнениям 3, 4, 6, 7 найдем Z_1, Z₂, __

По уравнениям 9-12 найдем U, I₂, I

По уравнениям 1,2,5,8 строим векторную диаграмму для U, I₂, I₁, I

Решение

(4) _= arctg (14/14) = 45°

(7)_= arctg (10/8) = 51°

(3) Z₁= ≈ 19.8

(6) Z₂= ≈ 12.8

(11), (13) I₂ = I₁*Z₁/Z₂ => I₂₀ = I₁₀*Z₁/Z₂ => I₂ = αI₁ , I₂₀ = = αI_10,

где α = Z₁/Z₂ = 19,8/12,8 ≈ 1,55

(11), (10) arctg( ) = arctg( ) ≈ arctg( ) ≈ ≈ arctg 1.129 ≈ 48°

(11),(14) I₂ = αI₁ ≈ 1.55*9 = 13.5 A

(12) U = I₁Z₁ = 9*19.8 = 178.2 В

(11),(13),(9) I₀ = + + 2 I₁I₂cos (__I₂ = αI₁ => I₁* + + 2 α cos (__

= 9* + 2.4 + 2 * 1.55 cos (A

Строим векторную диаграмму используя ___α

U

I₁

I₂

I

_



_