2.2. Оціночна функція

Щоб прийти до однозначного і по можливості найвигіднішого варіанту рішення навіть у тому випадку, коли якимось варіантам рішень E_i можуть відповідати різноманітні умови F_j, можна ввести відповідні оціночні (цільові) функції. При цьому матриця рішень зводиться до одного стовпчика. Кожному варіанту Е_і приписується, таким чином, деякий результат е_іr, що характеризує вцілому, усі наслідки цього рішення. Такий результат ми будемо надалі позначати тим же символом е_іr.

Процедуру вибору можна тепер уявити за аналогією з застосуванням критерію (2.1). Виникає, проте, проблема, який вкласти зміст у результат е_іr. Якщо, наприклад, наслідки кожного з альтернативних рішень характеризувати комбінацією з його найбільшого і найменшого результатів, то можна прийняти

(3.2 )

Зі сказаного випливає спосіб побудови оціночних функцій. Найкращий у цьому сенсі результат має вигляд

(3.3)

Тепер рішення можна знову шукати відповідно критерію (2.1). Формуючи в такий спосіб бажаний результат, конструктор виходить із компромісу між оптимістичним і песимістичним підходами.

Розглянемо тепер деякі інші оціночні функції, які в даному прикладі міг би вибрати конструктор, а також відповідні їм вихідні позиції.

Оптимістична позиція:

(3.4 )

(3.5 )

(3.6 )

З матриці результатів рішень е_іj (табл. 2.1) вибирається варіант (рядок), що містить у якості можливого наслідку найбільший із усіх можливих результатів. Наш конструктор стає на точку зору азартного гравця. Він робить ставку на те, що випаде найвигідніший випадок, і виходячи з цього вибирає розміри виробу.

Позиція нейтралітету:

Конструктор виходить із того, що усі відхилення результату, що зустрічаються, рішення від «середнього» випадку допустимі, і вибирає розміри, оптимальні з цього погляду.

Песимістична позиція:

Конструктор виходить із того, що треба орієнтуватися на найменш сприятливий випадок і приписує кожному з альтернативних варіантів найгірший із можливих результатів. Після цього він вибирає найвигідний варіант, тобто очікує найкращого результату в найгіршому випадку. Для кожного іншого зовнішнього стану результат може бути тільки рівним цьому або кращим.

Позиція відносного песимізму:

(3.7 )

Для кожного варіанта рішення конструктор оцінює втрати в результаті в порівнянні з визначеним по кожному варіанту найкращим результатом, а потім із сукупності найгірших результатів вибирає найкращий відповідно до поданої оціночної функції.

Ряд таких оціночних функцій можна було б продовжити. Деякі з них одержали широке поширення в господарській діяльності. Так, якщо умови експлуатації заздалегідь не відомі, орієнтуються звичайно на найменш сприятливу ситуацію. Це відповідає оціночній функції (3.6). Нерідко використовуються також функції (3.5) і (3.7). Оціночна функція (3.4) дотепер у технічних додатках не застосовувалася.

2.3. Класичні критерії прийняття рішень. Мінімаксний критерій

Мінімаксний критерій (ММ) використовує оціночну функцію (3.6), що відповідає позиції крайньої обережності.

При

(3.8 )

і

(3.9)

справедливе співвідношення

(3.10 )

де z_mm - оціночна функція ММ-критерію.

Оскільки в області технічних задач побудова множини Е варіантів уже сама по собі потребує дуже значних зусиль, причому іноді виникає необхідність у їх розгляді з різноманітних точок зору, умова включається у всі критерії. Вона повинна нагадувати про те, що сукупність варіантів необхідно досліджувати можливо більш повно , щоб була забезпечена оптимальність варіанту, що вибирається.

Правило вибору рішення відповідно до ММ-критерію можна інтепретувати так:

Матриця рішень доповнюється ще одним стовпчиком із найменших результатів е_ir кожного рядка. Вибрати слід ті варіанти E_i0, у рядках яких стоять найбільші значення е_ir цього стовпчика.

Вибрані в такий спосіб варіанти цілком виключають ризик. Це означає, що приймаючий рішення не може зіткнутися з гіршим результатом, ніж той, на який він орієнтується. Які б умови F_j не зустрілися, відповідний результат не може виявитися нижче z_mm. Ця властивість змушує вважати мінімаксний критерій одним із фундаментальних. Тому в технічних задачах він застосовується частіше усього, як свідомо, так і несвідомо. Проте положення про відсутність ризику вимагає різноманітних втрат. Продемонструємо це на невеликому прикладі (табл. 3.1).

Хоча варіант E_i здається здалеку більш вигідним, відповідно до ММ-критерію оптимальним варто вважати E₀={E₂}.Ухвалення рішення по цьому критерію може, проте, виявитися ще менш розумним, якщо

- стан F₂ зустрічається частіше, ніж стан F₁, і

- рішення реалізується багаторазово.

Таблиця 2.1. Приклад варіантів рішення без врахування ризику

	F1	F2	eir	max eir
E1	1	100	1
E2	1,1	1,1	1,1	1,1

Обираючи варіант Е₂, що відповідає ММ-критерію, ми, правда, уникаємо невдалого значення 1, що реалізується у варіанті E₁ при зовнішньому стані F₁, одержуючи замість нього при цьому стані трохи кращий результат 1, 1, зате в стані F₂ втрачаємо виграш 100, одержуючи усього тільки 1, 1. Цей приклад показує, що в багатьох практичних ситуаціях песимізм мінімаксного критерію може виявитися дуже невигідним.

Застосування ММ-критерію буває виправданим, якщо ситуація, у якій приймається рішення, характеризується такими обставинами:

- про можливість появи зовнішніх станів F_j нічого не відомо;

- приходиться рахуватися з появою різноманітних зовнішніх станів F_j;

- рішення реалізується лиш один раз;

-необхідно виключити будь-який ризик, тобто при жодних умовах F_j не припускається одержувати результат, менший, ніж Z_MM.