Производные высших порядков.
Производная от производной первого порядка называется производной второго порядка. Производная от производной второго порядка называется производной третьего порядка. Вообще, производной n-го порядка называется производная от производной n -1-го порядка. По определению сама функция считается производной нулевого порядка от самой себя.
; 
;
... , 
. 
.
Выясним механический
смысл второй производной. Выше было
установлено, что если точка движется
прямолинейно по закону
,
то
представляет скорость изменения пути
в момент
.
Следовательно, вторая производная
пути по времени
есть
скорость изменения
скорости или
ускорение тонки в момент
Дифференциал функции и его геометрический смысл.
Пусть
функция у =f(x) определена на промежутке
X и дифференцируема в некоторой окрестности
точки
.
Тогда существует конечная производная
На основании теоремы о связи бесконечно малых величин с
пределами функций можно записать
Таким
образом, приращение функции
состоит из двух слагаемых:
1)
линейного относительно
2) нелинейного (представляющего бесконечно малую более высокого порядка, чем , ибо
Определение.
Дифференциалом функции называется главная,
линейная относительно часть приращения функции, равная про-
изведению производной на приращение независимой переменной
Геом смысл
Возьмем на графике
функции у =f{x) произвольную точку М(х, у). Дадим аргументу
X приращение
Тогда функция у =f{x) получит приращение
Проведем касательную
к кривой
в
точке М, которая образует угол
с положительным направлением оси Ох,
т.е.
Из прямоугольного треугольника MKN
т.е.
Таким образом, дифференциал функции есть приращение ординаты касательной, проведенной к графику функции у =f(x) в данной точке, когда х получает приращение 𝜟х,
Экономический смысл производной. Использование понятия производной в экономике.
Э
кономический
смысл производной. Использование
понятия производной в экономике.
Теорема Ферма.
Теорема Ферма.
Если дифференцируемая на промежутке X
функция у =f(x) достигает наибольшего или
наименьшего значения во внутренней
точке
этого промежутка, то производная функции
в этой точке равна нулю, т.е.
Геометрический смысл теоремы Ферма очевиден: в точке наибольшего или наименьшего значения, достигаемого внутри промежутка X, касательная к графику функции параллельна оси абсцисс.
Теорема Ролля.
Пусть функция у =f(x) удовлетворяет следующим условиям:
1) непрерывна на отрезке [а, Ь];
2) дифференцируема на интервале (а, Ь);
3) на концах отрезка принимает равные значения, т.е.
f(a)=f{b).
Тогда внутри отрезка существует по крайней мере одна такая
точка
, в которой производная функции равна
нулю:
Отметим геометрический
смысл теоремы Ролля: найдется хотя бы одна точка, в которой касательная к графику функции будет параллельна оси абсцисс, в этой точке производная и будет равна нулю (заметим, что на рис. 8.2 таких точек две: Если f{a) =f(b) = О, то теорему
Ролля можно сформулировать так: между двумя последователь-
ными нулями дифференцируемой функции имеется хотя бы один
нуль производной.
