1. Пример обработки опытных данных по срокам службы крановых колес для построения статистической функции распределения и гистограммы распределения случайных величин

Оценка вероятности противоположного события — безотказной работы

а вероятность безотказной работы (при N →∞) за время t_i

Так как безотказная работа и отказ — взаимно противоположные события, то сумма их вероятностей равна единице:

В начальный момент наблюдений при t₁ = 0 Σm_t = 0 и F(t) = 0, а Р(t) = 1. Если наблюдения вести достаточно долго (теоретически до t_t =∞), то Σm_t = N, F(t) = 1, а Р(t)=0.

На основании опытных данных по формуле (8) можно определить статистическую вероятность безотказной работы в каждый момент времени и построить зависимость статистической функции вероятности безотказной работы Р(t) (кривая 3). Эта кривая наглядно показывает изменение вероятности безотказной работы в зависимости от времени в пределах 0 ≤ Р (t) ≤ 1. Следует иметь в виду, что без указания конкретного периода времени t значе­ние Р (t) смысла не имеет. Например, нельзя сказать, что вероятность безотказной работы грузового каната Р(t) = 0,9. Правильным будет указание вероятности безотказной работы лишь вместе с наработкой, к которой она относится, например вероятность работы грузового каната Р(t) = 0,9 за время t = 300 ч. Это означает, что в среднем 90 % установленных канатов определенного качества проработают при определенных условиях 300 ч и более без замены, а 10% канатов придется заменить до истечения 300 ч работы. Чем больше значение Р(t) при данном t_i тем выше безотказность объекта. Как видно из рис. 2, а, кривые Р (t) и F (t) симметричны одна другой.

Функции, подобные F(t), в теории вероятностей называют интегральными, а функции, подобные f (t), — дифференциальными. Дифференциальную функцию f(t) можно получить из интегральной F (t) дифференцированием ее:

И, наоборот, интегральную функцию F (t) можно получить интегрированием функции f(t).

Наряду с функциями Р(t), F(t) и f(t) в теории надежности важное значение имеет функция λ(t) интенсивности отказов или функция условной плотности вероятности возникновения отказа невосстанавливаемого объекта. Статистически она определяется в зависимости от плана испытаний.

Планы испытаний на надёжность с измерением наработки

В процессе эксплуатации металлургического оборудования в соответствии с положением о ТО и Р предусмотрено ведение до­кументации об отказах оборудования. Фактически в них регистри­руются результаты наблюдений за работой оборудования, т.е. осуществляется испытание на надёжность. Внедрение информа­ционной системы об отказах оборудования, позволяет повысить эффективность и достоверность проводимых испытаний (наблюдений).

В зависимости от принятой системы и методов ремонта при­меняются различные планы испытаний. Существуют 14 разновид­ностей планов испытаний с измерением наработок. Каждый план имеет условное обозначение в виде трёх (четырёх) буквенных символов, заключенных в квадратные скобки.

На первой позиции символом N указывается объём выборки.

На второй позиции проставляется один из следующих сим­волов, характеризующих план испытаний:

U - отказавшие изделия не заменяются и не восстанавлива­ются;

R- отказавшие изделия заменяются новыми;

М - работоспособность изделия восстанавливается после каждого отказа.

На третьей позиции записывается один или два символа, указывающие на окончание испытаний:

N - отказ всех изделий, поставленных на испытания;

r - отказ г изделий (г ≤ N) или наступление г отказов;

Т - по истечении определённого времени (наработки);

z - при наработке z_i каждого изделия, где z _i=min(t _j, τ _i), i=1…N;

t_i- наработка до отказа i-го изделия;

T_i - наработка до снятия с испытаний работоспособного i-ro изделия.

То есть по этому плану испытания прекращаются при дости­жении наработки z с учётом как наработок изделий до отказа, так и наработок работоспособных изделий, но снятых с испытаний по тем или иным причинам (плановые замены), если величина этой наработки меньше z.

На третьей позиции может записываться и сочетание 2-х символов, например (r ,Т), это означает, что испытания прекраща­ются либо при появлении r отказов, либо по истечении времени Т, если к этому моменту времени не произошло г отказов.

Поясним на некоторых примерах, как расшифровываются планы испытаний.

Так, при испытаниях по плану [NUN], если выражение в квадратных скобках имеет вид [10U101, то это означает, что исследуется 10 объектов, которые при отказах не заменяются и не восстанавливаются; испытания завершаются отказом всех 10 объектов.

Для плана |NMT| выражение [4 М 150] означает, что испытываются 4 объекта, изделия восстанавливаются после каждого отказа, испытания прекращаются при достижении 150 сут.

При плане |NRr] выражение |10 R 5] характеризует испыта­ние на надёжность 10 объектов, при котором отказавшие изделия заменяются новыми, испытание прекращается, когда произойдут отказы 5 объектов.

План [NUz] в виде выражения [10 Uz] трактуется следующим образом: на испытание поставлено 10 объектов, которые при отка­зах не восстанавливаются и не заменяются; испытания прекраща­ются, когда из всех объектов одна часть изделий откажет, а другая часть изделий будет снята с испытаний в произвольный момент времени. В плане [NUTr] выражение [10 U (100,5)] показывает, что 10 испытываемых объектов при отказах не заменяются и не вос­станавливаются, испытания прекращаются через 100 сут, если ра­нее не произошло отказа 5 объектов.

При выборе плана испытаний для металлургических агрега­тов и машин необходимо учитывать следующие факторы:

• металлургические агрегаты (машины) являются слож­ными, непрерывно действующими техническими системами;

• существует график остановки агрегатов на плановые текущие ремонты для восстановления исходных показателей надёжности;

• вследствие высокой интенсификации производства для металлургических машин характерна высокая интенсивность отка­зов;

• восстановление исходных показателей надёжности, а также работоспособного состояния осуществляется либо путём замены изношенной (отказавшей) детали, либо путём замены уз­ ла, в состав которого входит изношенная (отказавшая) деталь.

Поэтому для деталей, узлов и машин металлургических аг­регатов наиболее применимы планы типа [R] и [М]. Но результаты испытаний по планам [R] сводимы к результатам по планам [U| путём переноса начала испытаний каждого объекта к некоторому условному началу испытаний всех объектов.

Планы типа [М| можно интерпретировать как планы |U|, если положить, что каждая наработка между отказами соответствует не­которому условному невосстанавливаемому объекту; восстановле­ние работоспособного состояния объекта после отказа полное.

Планы типа [U] или приводимые к нему, кроме плана [NUN], предусматривают снятие объектов с испытаний до наступления отказа. Такое событие называется цензурированием.

Различают три типа цензурирования:

1. тип - при заданной наработке;

2. тип - при заданном числе отказов;

III тип - случайное.

Первый тип цензурирования соответствует плану [NUT], второй тип цензурирования - плану [NUr], третий тип - плану [NUz].

Наработка объекта от начала испытания до наступления цензурирования (прекращения испытаний) называется наработкой до цензурирования.

Выборка, элементами которой служат значения наработки до отказа и наработки до цензурирования, называется цензурирован-ной выборкой.

Различают однократно и многократно цензурированные вы­борки.

Однократно цензурированная выборка - цензурированная выборка, в которой значения всех наработок до цензурирования равны между собой.

Многократно цензурированная выборка - цензурированная выборка, в которой значения всех наработок до цензурирования не равны между собой.

Однократно цензурированная выборка характерна для пла­нов [NUT] и [NUr]. Для плана в общем случае характерна случай­но цензурированная выборка, т.е. выборка может быть как одно­кратно, так и многократно цензурированной. В зависимости от при­нятой системы технического обслуживания для металлургических машин возможны следующие планы испытаний с учётом приведе­ния к плану типа [U]:

[NUN] - замена детали или узла производится только после отказа;

[NUT| - замена детали или узла производится после отказа или в каждый плановый ремонт, если в межремонтный период от­каза не произошло;

[NUz] - замена детали или узла производится после отказа или в плановый период, наработка до которого есть величина слу­чайная.

Существует 14 разновидностей планов испытаний. Наиболее употребительными являются планы испытаний [N, U, Т] и [N, U, r]. Согласно первому плану испытывают N объектов; отказавшие во время испытаний объекты не восстанавливают и не заменяют, испытания прекращают при истечении времени Т испытаний или наработки для каждого неотказавшего объекта. Второй план испытаний отличается от первого тем, что испытания прекращают, когда число отказавших объектов достигнет r; при r = N имеем план [N, U, N).B обозначениях планов испытаний под U подразумевают невосстанавливаемые объекты.

При плане испытаний [N, U, Т] интенсивность λ(t) отказов статистически определяется отношением

Рис. 3. Зависимость λ(f) для сорбитизированных ходовых колес мостовых кранов

где r(t+Δt) — число отказов за время t +Δt; r (t) — число отказов за время t; N (t) — количество объектов, работоспособных ко времени t; N(t+ Δt) — количество объектов, работоспособных ко времени t + Δt; Δt — продолжительность интервала времени.

Так как N(t) ­ N (t + Δt) =Δr — число отказов за время Δt, а N (t) =N ­ r (N — общее число испытуемых объектов, r — число отказов за время t), то выражение (12) можно представить в более удобном виде:

При разных значениях Δt для объектов исследуемой совокупности знаменатель в выражении (13) целесообразно представлять в виде ΣΔt_i; тогда

По данным табл. 1 построена зависимость статистической функции интенсивности отказов λ(t) крановых колес (рис. 3). При увеличении количества опытных данных и времени испытаний, т. е. при N →∞ и t →∞, статистическая функция распределения интенсивности отказов приближается к теоретической функции λ(t).

Можно показать, что между λ(t) и другими рассмотренными функциями f(t), F(t) и Р(t) существует тесная связь. Поделив числитель и знаменатель в выражении (13) на NΔt, на основании выражений (4) и (8) с учетом того, что т_i = Δr, l_t = Δt, Σm_t =r, получим

При увеличении числа испытуемых объектов и времени испытаний, т. е. при N →∞ и t→∞, опытное значение λ’(t) стремится к λ(t) и зависимость (14) принимает вид

Используя выражение (11), связь по формуле (15) можно представить в следующем виде:

После интегрирования выражения (16) имеем

или

Наряду с функциями F(t), f(t) и Р(t) по выражениям (10), (11), (16), (18) важной характеристикой надежности объекта является среднее время Т его безотказной работы, определяемое в теории вероятностей как

Подставив значение f(t) из выражения (11) в выражение (19) и проинтегрировав его по частям, получим

Так как Р(0) = 1, а Р(∞) = 0 и Р(f) →0 быстрее, чем t →∞, то tP (t) = 0, и выражение (20) примет вид