Теорема о наложении частных решений.
Пусть
- решение неоднородного уравнения с
правой частью
,
- решение неоднородного
уравнения с правой частью
.
Тогда
- решение неоднородного уравнения с
правой частью
.
Доказательство. Подставим в неоднородное уравнение:
.
Теоремы о свойствах решений однородной и неоднородной системы.
Если
-
решения однородной системы, то
-
решения однородной системы.
Если
- решения однородной и неоднородной
систем, то
-
решение неоднородной системы.
Если
-
решения неоднородной системы, то
-
решение однородной системы.
Доказательство.
,
11Билет
Теорема о наложении частных решений.
Пусть - решение неоднородного уравнения с правой частью ,
- решение неоднородного уравнения с правой частью . Тогда - решение неоднородного уравнения с правой частью .
Доказательство. Подставим в неоднородное уравнение:
.
12Билет
Нахождение общего решения линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка методом Лагранжа вариации произвольных постоянных.
Метод
вариации произвольной постоянной для
линейного неоднородного дифференциального
уравнения n-ого
порядка.
.
(
).
Здесь
обозначено
,
заметим, если y-
решение однородного уравнения, то
.
Заметим, всегда, применяя метод вариации, надо делить на коэффициент при старшей производной, т.е. приводить уравнение.
Пусть найдено решение однородного уравнения
.
Варьируем произвольные постоянные, ищем решение неоднородного уравнения в виде
.
Дифференцируем это соотношение
.
Потребуем, чтобы
.,
тогда
.
Дифференцируем еще раз
.
Потребуем, чтобы
.,
тогда
.
Вновь дифференцируем и т.д., в результате, после n-2 дифференцирования получим
.
.
Дифференцируем и подставляем
+
.
в
неоднородное уравнение
.
+
=
Так
как
-
решения однородного уравнения, то
.
Получим
.
Это – последнее уравнение системы для определения варьированных констант. Соберем все уравнения в систему для определения констант.
.,
.,
.
Так
как определитель системы – определитель
Вронского, не равный нулю в силу линейной
независимости решений, то функции
определяются
из этой системы однозначно.
Теперь общее решение неоднородного уравнения определяется по формуле .
13Билет
Линейная зависимость и независимость.
Функции называются линейно независимыми, если
(допустима только тривиальная линейная комбинация функций, тождественно равная нулю). В отличие от линейной независимости векторов здесь тождество линейной комбинации нулю, а не равенство. Это и понятно, так как равенство линейной комбинации нулю должно быть выполнено при любом значении аргумента.
Функции называются линейно зависимыми, если существует не нулевой набор констант (не все константы равны нулю) , такой что (существует нетривиальная линейная комбинация функций, тождественно равная нулю).
Теорема. Если функции линейно зависимы, то
Доказательство. Так как функции линейно зависимы, то какая-либо из них линейно выражается через остальные, например,
. Тождество можно дифференцировать, поэтому
. Тогда первый столбец определителя Вронского линейно выражается через остальные столбцы, поэтому определитель Вронского тождественно равен нулю.
Теорема. Для того, чтобы решения линейного однородного дифференциального уравнения n-ого порядка были линейно зависимы, необходимо и достаточно, чтобы .
Доказательство. Необходимость следует из предыдущей теоремы.
Достаточность. Зафиксируем некоторую точку . Так как , то столбцы определителя, вычисленные в этой точке, представляют собой линейно зависимые векторы.
, что выполнены соотношения
.
Так как линейная комбинация решений линейного однородного уравнения является его решением, то можно ввести решение вида
- линейную комбинацию решений с теми же коэффициентами.
Заметим, что при это решение удовлетворяет нулевым начальным условиям, это следует из выписанной выше системы уравнений. Но тривиальное решение линейного однородного уравнения тоже удовлетворяет тем же нулевым начальным условиям. Поэтому из теоремы Коши следует, что введенное решение тождественно равно тривиальному, следовательно,
,
поэтому решения линейно зависимы.
Следствие. Если определитель Вронского, построенный на решениях линейного однородного уравнения, обращается в нуль хотя бы в одной точке, то он тождественно равен нулю.
Доказательство. Если , то решения линейно зависимы, следовательно, .
Теорема. 1. Для линейной зависимости решений необходимо и достаточно (или ).