4.4. Моделі систем типу Мс

Розглянемо кілька видів класифікаційних ознак і відповідні класи моделей, не претендуючи на спробу обґрунтування їхнього вибору. Зазначимо тільки, що поєднання різних класифікаційних ознак можуть утворювати досить велику розмаїтість практично виділюваних класів моделей.

Апроксиматори, називані також у літературі «чорними ящиками» (black box), «формальними моделями», є різновидом математичних моделей, описують функціональні зв'язки між входами й виходами моделюємої системи без обліку (при відсутності) яких-небудь знань про топологію системи. Коефіцієнти таких моделей можуть не мати якого-небудь фізичного змісту, не співвідносяться, наприклад, з технологічними параметрами процесів. У цьому полягає недолік таких моделей. Однак, ці моделі ефективні у випадку неможливості або труднощі побудови строгих математичних описів поводження систем.

Розповсюдженими прикладами таких моделей є нейронні мережі (НС).

Механістичні моделі. Якщо знання про функціонування моделі формалізовані, то для опису таких моделей можуть бути використані механістичні моделі (ММ), до числа яких відносять:

- алгебраїчні моделі (АМ), що представляють собою системи алгебраїчних і трансцендентних рівнянь,

- диференціальні рівняння (ДР) і системи ДР,

- передатні функції (ПФ),

- логічні моделі (ЛМ) і ін.

Такі моделі звичайно одержують шляхом аналізу фізичних і хімічних основ моделюємих процесів. Результатом аналізу є пряма або зворотна модель процесу. Пряма модель відбиває вплив вхідних координат процесу на вихідні й може бути представлена у вигляді функції

Y = F(X),

де Х и Y - множини вхідних (у тому числі керуючих) і вихідних координат відповідно.

У ряді випадків необхідним є одержання зворотної моделі виду

X = Q(Y_н),

де Y_н - множина спостережуваних або вимірюваних значень вихідних координат процесу. У більшості випадків побудова зворотних моделей є некоректною задачею, тобто має більше одного рішення або взагалі його не має.

Статистичні моделі є технологією побудови моделей шляхом опису властивостей процесу через статистичні змінні й відповідні статистичні оцінки цих змінних. По своїй суті ці моделі містять елемент невизначеності.

Моделі, відповідно до цієї технології, будуються з використанням методів статистичного аналізу, теорії ігор, теорії інформації й т.п.

Різновидами даних моделей є імовірнісні й кореляційні моделі. Імовірнісні моделі використовують щільності ймовірності змінних процесу. При цьому найбільше часто використовуються нормальний і експонентний закони розподілу. Використання таких моделей обмежене тим, що при числі змінних більше двох потрібне велике число експериментів, виникають труднощі, пов'язані з кореляцією параметрів.

Динамічні моделі й характеристики описують поводження систем у динаміці, тобто в часі.

Найбільше часто динамічні моделі представляються лінійними й нелінійними диференціальними рівняннями, різницевими рівняннями в частинних похідних, операторними рівняннями, передатними функціями й ін.

Лінійними називаються елементи, для яких справедливий принцип суперпозиції:

(х₁ + х₂) = (х₁) + (х₂),

де  - деякий оператор.

Такою властивістю володіють оператори підсумовування, інтегрування, диференціювання.

При дослідженні динамічних властивостей систем може бути використані прикладні математичні методи операційного вирахування. Наприклад, функціонування деякої системи описується ДР виду

, (4.14)

де х и в - вхідна й вихідна величини. Якщо в дане рівняння замість x(t) і y(t) підставити функції X(s) і Y(s) комплексного змінного s такі, що

і , (4.15)

тоді ДР (4.14) при нульових початкових умовах рівносильне лінійному алгебраїчному рівнянню

a₂ s² Y(s) + a₁ s Y(s) + a₀ Y(s) = b₁ X(s) + b₀ X(s).

Такий перехід від ДР до алгебраїчного рівняння називається перетворенням Лапласа, формули (2.2) відповідно формулами перетворення Лапласа, а отримане рівняння - операторним рівнянням.

Нові функції X(s) і Y(s) називаються зображеннями для x(t) і y(t) по Лапласові, тоді як x(t) і y(t) є оригіналами стосовно X(s) і Y(s).

Перехід від однієї моделі до іншої полягає в заміні знаків диференціалів на оператори sⁿ, знаків інтегралів на множники , а самих x(t) і y(t) - зображеннями X(s) і Y(s).

Для зворотного переходу від операторного рівняння до функцій від часу використовується метод зворотного перетворення Лапласа. Загальна формула зворотного перетворення Лапласа:

,

де f(t) - оригінал, F(j) - зображення при s = j, j - мнима одиниця,  - частота.

Перетворення ДР по Лапласові дає можливість увести поняття передатної функції, що характеризує динамічні властивості системи.

Наприклад, операторне рівняння

3s²Y(s) + 4sY(s) + Y(s) = 2sX(s) + 4X(s)

можна перетворити, винісши X(s) і Y(s) за дужки й поділивши один на одного:

Y(s)*(3s² + 4s + 1) = X(s)*(2s + 4),

.

Отримане вираження називається передатною функцією.

Передатна функція - це відношення зображення вихідного впливу Y(s) до зображення вхідного X(s) при нульових початкових умовах:

.

Передатна функція для лінійних елементів часто є дрібно-раціональною функцією комплексної змінної:

,

де B(s) = b₀ + b₁s + b₂ s² + … + b_m s^m - поліном чисельника,

А(s) = a₀ + a₁s + a₂ s² + … + a_n sⁿ - поліном знаменника.

Якщо замість s підставити вираження s = j, одержуємо перетворення Фур'є, що характеризує зв'язок між частотними характеристиками вхідних і вихідних сигналів елемента. Частотні характеристики дають можливість аналізувати опис системи з урахуванням динаміки.

Останнім часом більш широко використовується опис динаміки систем методом простору станів.

Для опису динаміки елементів систем використовується в даному методі матричний запис ДР:

, (4.16)

де А - матриця коефіцієнтів, U - матриця входів або керувань, Х - матриця простору станів:

Х = (х₁, х₂, … х_n)^Т.

У цьому випадку х_i називається змінної стану або фазовий змінної («Т» – символ транспонування).

Припустимо, що динамічні властивості об'єкта описуються ДУ виду

, (4.17)

де a_i і b_i – коефіцієнти, у – вихідний сигнал, u – вхідний сигнал об'єкта.

Якщо ввести змінні стани:

і т.д.,

те ліва частина ДР (4.17) прийме вид (після ділення на (-а_n ):

.

Можна записати рівняння в матричному виді:

.

Рішенням отриманого матричного рівняння є матриця Х.

Для визначення вихідних параметрів y_i рівняння (4.16) доповнюється рівнянням

Y = C^.X + D^.U,

де С (pn) – матриця зв'язків, D (pq) – матриця обходу, p – число вихідних параметрів у_i, q – число вхідних параметрів u_i.

Рішення матричних рівнянь для деяких випадків може бути зроблене аналітично, зокрема, для однорідного ДР виду

. (4.18)

Пряме перетворення Лапласа для даного рівняння дає

s^.X(s) – X₀ = A^.X(s),

де Х₀ – матриця початкових умов, тобто початкові умови по змінній у, по швидкості її зміни, прискоренню й т.д. Звідси отримане

Х(s) = X₀^.[s^.E – A]^-1 = Ф(s)^.X_0,

де Е - одинична матриця, Ф(s) - зображення фундаментальної матриці

Ф(s) = [s^.E – A]^-1.

Оригіналом фундаментальної матриці є матричний експоненціал

.

Тоді рішення ДР (4.18) можна одержати у вигляді ряду із кроком t за часом:

Х₀ – початкові умови,

Х(t) = Ф(t)^.Х₀,

Х(2^. t) = Ф(2^.t)^.Х(t) і т.д.

Якісні моделі

Існує багато прикладів, коли природа процесів прийняття рішень або функціонування об'єкта не може бути описана у вигляді математичних співвідношень у виді наявності нечітких визначень і лінгвістичних операцій або обмежень на технологічні параметри й т.д.

Рішенням цієї проблеми є використання якісних моделей, які найбільше часто представляються в термінах нечітких множин.